Alfaconnection
By Lucien Silvano Alhanati

Matemática

Limites, Derivadas e Integrais LDT

Limites LDT01

Conceitos básicos LDT0101

O que se entende por limite de uma função f ( x ) quando x tende para a ? LDT010101

Dizemos que o limite de uma função f ( x ) quando x tende para a é b, quando para toda a sequência de valores de x pertencentes ao domínio da função tendendo para a (mas diferentes de a) corresponde uma sequência de valores da função tendendo para b


É importante lembrar que no cálculo do limite de f(x) quando x tende para a, estamos interessados no comportamento da função quando x se aproxima de a e não o que ocorre com f(x) quando x = a

Exemplo:

O que se entende por função contínua num ponto ? LDT010102

Intuitivamente uma função é contínua no ponto x = a quando ela não apresente interrupção neste ponto.

Uma função f(x) é contínua em x = a quando:

  • existe f(a)
  • existe o limite de f(x) quando x tende para a
  • o limite de f(x) com x tendendo para a for f(a)

Exemplos:

                                     1 )

                                   2 )

 Quais são as propriedades das funções contínuas ? LDT010103

03.1 - Considere a função f(x) definida no intervalo [a,b] contínua em todos os pontos x do intervalo, dizemos que f(x) é contínua no intervalo [a,b]

03.2 - Considere as funções f(x) e g(x) contínuas em a:

  • a função (f+g)(x) = f(x) + g(x) é contínua em a
  • a função (f-g)(x) = f(x) - g(x) é contínua em a
  • a função (f.g)(x) = f(x) . g(x) é contínua em a
  • a função (f/g)(x) = f(x) / g(x) é contínua em a para g(a) diferente de zero

03.3 - As funções polinomiais, racionais, trigonométricas, exponenciais e logarítmicas, são contínuas em todos os pontos de seus domínios.

Exemplos:

1 )

2 )

Quais são as propriedades avançadas das funções contínuas ? LDT010103a

03a.1 - Se a função f(x) admite uma inversa g(x), sendo f(x) contínua em a e a imagem Imf(x) = c então g(x) será continua em c.

Exemplo:

A função exponencial e sua inversa a função logaritmica são contínuas em todos os pontos de seus domínios

03a.2 - Se a função f(x) é contínua em a e g(x) é contínua em f(a), então a função composta (gof)(x) é contínua em a.

Exemplo:

03a.3 - Se o limite de g(x) quando x >>> a é igual a b e a função f(x) é contínua em b então

Exemplo:

 

 

Como calcular o limite de uma função contínua f ( x ) quando x tende para a ? LDT010104

O limite é calculado fazendo-se na função x = a.

Exemplo:
Seja a função f(x) = x2 - 2, vamos calcular o seu limite quando x tende para 3.
O limite será f(3) = 32 -2 = 7

 O que se entende por limites laterais ?LDT010105

Considere uma função f(x). São limites laterais:
Quando x se aproxima de a por valores superiores a função f(x) tende para b, é um limite pela direita
Quando x se aproxima de a por valores inferiores a função f(x) tende para b, é um limite pela esquerda.

 Exemplo de limites laterais iguais LDT010106

Exemplo:

Exemplos de limites laterais diferentes LDT010107

Exemplos:

                     1)

  2)

Quando existe o limite de uma função num ponto ? LDT010108


 

Exemplo:

Exemplo;

 

Quando o limite de uma função num ponto não existe? LDT010109

 

 


Limites, Derivadas e Integrais