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By Lucien Silvano Alhanati

  Física

Movimentos MOV

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Movimentos periódicos MOV06

Movimento Harmônico Simples (MHS) MOV0602

O que é um Movimento Harmônico Simples (M H S) ? MOV060201

É um movimento com as seguintes características:

1) periódico

2) alternativo

3) a aceleração está sempre voltada para a posição média da trajetória



4) a aceleração é, em módulo, proporcional à distância da posição do móvel à posição média da trajetória



a = w2x onde w = 2p / T  sendo T o período.

 

O que é elongação e amplitude de um MHS ? MOV060202

Denominamos de elongação e à distância da partícula que realiza o MHS à posição média da trajetória.
Denominamos de amplitude
A ao valor da elongação máxima.

O que é ângulo de fase num MHS ? MOV060203

O MHS conceituado em MOV060201 pode ser definido por meio de um artifício gráfico que facilita o seu entendimento. Vejamos o artifício.
Consideremos uma partícula M descrevendo uma circunferência com velocidade de módulo constante e igual a v'.Consideremos a projeção P da partícula M sobre o diâmetro X' X. O movimento de P sobre X' X é um MHS.
Para conceituar o ângulo de fase vamos fazer algumas convenções:
1) a trajetória de P será orientada positivamente da esquerda para a direita tendo como origem o ponto 0 centro da circunferência.
2) a trajetória de M será orientada no sentido anti-horário tendo como origem a extremidade X do diâmetro.

A cada posição de P no MHS corresponderá um ângulo XOM (j) denominado de ângulo de fase.

Exemplos:
 Verifique o valor do ângulo de fase j para cada uma das situações de P abaixo:

O ângulo de fase é j = 90o ou j = p/2

O ângulo de fase é j = 270o ou 
j
= 3p/2

O ângulo de fase é j = 180o ou j = p

No triângulo OMP cos a = (A/2)/A >>>
cos a = 0.5, logo a = 60o conseqüentemente>>>
O ângulo de fase é j = 120o ou 
j = 2p/3

O que é pulsação de um MHS ? MOV060204

Considere M descrevendo a circunferência com movimento uniforme e a sua projeção P sobre X' X, realizando um MHS.
Chamamos de pulsação w do MHS a velocidade angular da partícula M

Qual é a relação entre pulsação e o período ? MOV060205

A pulsação w do MHS realizado por P é a velocidade angular de M.
Seja T o período do MHS que corresponde ao tempo que M gasta para realizar uma volta completa, isto é o tempo para M descrever um ângulo igual a 2p.
Como a velocidade angular é
w = ângulo descrito/tempo, então w = 2p/T

Como calcular o ângulo de fase em função do tempo ? MOV060206

Considere a partícula M com velocidade angular w, cuja projeção P realiza um MHS. Considere ainda as situações abaixo:
instante zero t
posição M0 M
ângulo de fase j0 j

Durante um tempo t a partícula M descreveu um ângulo Dj = j - j0.
A pulsação w = Dj / t >>> Dj = w.t logo j - j0 = wt ou finalmente

j =wt -j0

Como calcular a elongação no MHS em função do tempo ? MOV060207

A figura nos mostra que no triângulo OPM,

OP=OM.cos j >> e = A.cos j
como j = wt + j0
e = A.cos(wt + j0)

Como calcular a velocidade no MHS em função do tempo ? MOV060208

Existem dois caminhos:
I) Cálculo da velocidade da partícula P como projeção da velocidade da partícula M.
O módulo da projeção de v' sobre o eixo X'.X é

v'cos a.
Como cos a = sen j, a velocidade da partícula P, levando em conta o seu sentido será v = - v'.sen j >> v = - wA .sen j 
ou finalmente v = -Aw.sen(wt + j0)

II) Cálculo da velocidade da partícula P como taxa da variação da elongação em função do tempo, isto é, a derivada da elongação em relação ao tempo.

v = de/dt sendo e = A.cos(wt + j0)
v = A [cos(wt + j0)]'
v = A[-sen(wt + j0).(wt + j0)']
v = -Asen(wt + j0).w

v = -Awsen(wt + j0).

Exemplo:
Consideremos uma partícula que realiza um MHS com freqüência de 8 Hz e uma amplitude de 10 cm. Vamos calcular a sua velocidade quando a elongação for 5 cm.

Inicialmente é necessário calcular a pulsação:
w = 2pf >> w = 2p8 >> w = 50s-1
Calcularemos a seguir o seno do ângulo de fase:
.e = A.cos j >> 5 = 10.cos j >> cos j = 0,5
como
sen2 j+ cos2 j = 1>>sen2 j + 0,52 = 1
logo sen j = + 0,86 ou sen j = -0,86.
A velocidade será  v = -50x0,1x(+0,86) ou v = -50x0,1x(-0,86)
v = - 4,3 m/s ou v = 4,3 m/s

Como calcular a aceleração no MHS em função do tempo ? MOV060209

Existem dois caminhos:
I) Cálculo da aceleração a da partícula P como projeção da aceleração a' velocidade da partícula M.
O módulo da projeção de a' sobre o eixo X'.X é

a'cos j

A aceleração da partícula P, levando em conta o seu sentido será 

a = - a'cos j

Como a aceleração a' é uma aceleração centrípeta então a' = (v')2 / A >>> a' = w2A

teremos  a = - w2A cos (wt + j0) 

e como a elongação e = A cos (wt +j0) obtemos  finalmente que 

a = - w2 e

II) Cálculo da aceleração da partícula P como taxa da variação da velocidade em função do tempo, isto é, a derivada da velocidade em relação ao tempo.

a = dv/dt sendo v = -Aw sen (wt + j0)
a = -Aw [sen(wt + j0)]'
a = -Aw[cos(wt + j0).(wt + j0)']
a = -Awcos(wt + j0).w
a = -Aw2cos(wt + j0)
como e = Acos(wt + j0) então
a = - w2 e

Exemplo:
Consideremos uma partícula que realiza um MHS com freqüência de 8 Hz e uma amplitude de 10 cm. Vamos calcular a sua aceleração quando a elongação for 5 cm.

Inicialmente é necessário calcular a pulsação:
w = 2pj >> w = 2p.8 >> w = 50s-1
Como a elongação é e = 5 cm a aceleração será
a = -
w2 e >>> a = -12500 cm/s2
a = -125 m/s2

Relações entre os valores limites da elongação, da velocidade e da aceleração no MHS. MOV060210

Relacionaremos os valores máximos e mínimos dos módulos da elongação, da velocidade e da aceleração.

ângulo de fase 90o ou 270o 0o ou 180o
elongação 0 A
velocidade Aw  0
aceleração 0 w2A

Qual é o gráfico da elongação de um MHS em função do ângulo de fase? MOV060211

Sabemos que a elongação é e = A.cos(wt + j0) ou e = A.cos j  (consulta MOV060207).
O gráfico é uma cossenoide.

Qual é o gráfico da velocidade de um MHS em função do ângulo de fase? MOV060212

Sabemos que a velocidade é v = -Aw.sen(wt + j0) ou v = -Aw.sen j (consulta MOV060208)
O gráfico é uma senoide.

Qual é o gráfico da aceleração de um MHS em função do ângulo de fase? MOV060213

Sabemos que a aceleração é a = -Aw2cos(wt + j0) ou a = -Aw2cos j  (consulta MOV060209)
O gráfico é uma cossenoide.


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