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By Lucien Silvano Alhanati

  Física

Luz LUZ

Espelhos LUZ03

Espelhos esféricos LUZ0302

O que é un espelho esférico? LUZ030201

É um espelho cuja superfície refletora é uma calota esférica.

 Como se classificam os espelhos esféricos? LUZ030202

Espelhos côncavos.
São aqueles cuja superfície refletora é a superfície interna da calota.

Espelhos convexos.
São aqueles cuja superfície refletora é a superfície externa da calota.

 Quais são os elementos geométricos dos espelhos esféricos? LUZ030203

Centro de curvatura (C).
É o centro da esfera que deu origem ao espelho.

Raio de curvatura (R).
É o raio da esfera que deu origem ao espelho.

Eixo.
É toda reta que contem o centro de curvatura e passa por um ponto do espelho.
Eixo principal (EP)
É o eixo de simetria do espelho.
Eixo secundário (ES)
São os demais eixos.

Vértice (V)
É o ponto do espelho por onde passa o eixo principal.

Abertura (a)
É o maior ângulo formado por dois eixos do espelho.

  Qual é a Aproximação de Gauss para os espelhos esféricos? LUZ030204

Sabemos que a Aproximação de Gauss é o conjunto de condições para as quais o sistema ótico funciona estigmaticamente fornecendo uma imagem geometricamente semelhante ao objeto.

Para os espelhos esféricos estas condições são:

pontos objeto próximos ou sobre o eixo principal.
espelhos de pequena abertura  a < 10o 
raios luminosos pouco inclinados ( < 10o) em relação ao eixo principal.

Como podem ser representados os espelhos esféricos que funcionam nas condições da Aproximação de Gauss LUZ030205

Os espelhos esféricos podem ser representados como mostra a figura.

Quais são os elementos óticos dos espelhos esféricos? LUZ030206

Considerando a Aproximação de Gauss, os elementos óticos dos espelhos esféricos são:

Foco imagem de um eixo:
É o ponto imagem conjugado a um objeto impróprio sobre o eixo.

Foco objeto de um eixo:
É o ponto objeto conjugado a uma imagem imprópria sobre o eixo

Foco de um eixo:
Nos espelhos esféricos os focos imagem e objeto de um eixo são coincidentes e são denominados simplesmente de Foco

Foco principal (F):
É o foco do eixo principal.

Foco secundário (Fs)
É o foco de um eixo secundário

Plano focal:
É um plano ortogonal ao eixo principal que contem todos os focos do espelho

Distância focal (f):
É a distância do foco principal ao vértice do espelho. 
Ela vale a metade do raio de curvatura  f = R / 2 

 

Como construir o raio refletido num espelho esférico nas condições da Aproximação de Gauss? LUZ030207

Espelho côncavo:
  • Raio incidente (vermelho) paralelo ao eixo principal, retorna passando pelo foco principal.
  • Raio incidente (azul) passando pelo foco principal, retorna paralelo ao eixo principal.
  • Raio incidente (preto) passando pelo centro de curvatura, retorna em sua própria direção.

  • Raio incidente (vermelho) em posição genérica, retorna passando pelo foco Fs do eixo que lhe é paralelo.

Espelho convexo:

  • Raio incidente (vermelho) paralelo ao eixo principal, retorna passando pelo foco principal.
  • Raio incidente (azul) com direção passando pelo foco principal, retorna paralelo ao eixo principal
  • Raio incidente (preto) com direção passando pelo centro de curvatura, retorna em sua própria direção.

  • Raio incidente (vermelho) em posição genérica, retorna com uma direção passando pelo foco Fs do eixo que lhe é paralelo.

Qual é a posição relativa de pontos conjugados e o centro de curvatura dos espelhos esféricos? LUZ030208

Como todo raio incidente que passa por um ponto objeto retorna passando pelo ponto imagem conjugado e todo raio incidente cuja direção passa pelo centro de curvatura retorna em sua própria direção então:

os pontos conjugados e o centro de curvatura são sempre colineares nos espelhos esféricos.

Como construir graficamente, nos espelhos esféricos, a imagem de um ponto objeto? LUZ030209

Traçamos um raio incidente qualquer (por exemplo um raio paralelo ao eixo principal) que passe pelo ponto objeto. 
O ponto imagem conjugado estará sobre o raio refletido correspondente numa posição que seja colinear com o ponto objeto e o centro de curvatura.

Exemplo para o espelho côncavo:

Exemplo para o espelho convexo:

Construindo graficamente a imagem concluímos que nos espelhos esféricos da mesma maneira que nos espelhos planos:

Objeto e imagem reais estão na frente do espelho
Objeto e imagem virtuais estão atrás do espelho

Qual é o Sistema Referencial de Gauss para os espelhos esféricos? LUZ030210

É um sistema referencial de coordenadas que tem como origem o vértice do espelho.
O eixo das abscissas está orientado positivamente em sentido oposto ao da luz incidente, isto é, orientado positivamente para a frente do espelho.
O eixo das ordenadas está orientado positivamente para cima do eixo principal do espelho.

Convenções:

Elemento Representação de abscissas Representação de ordenadas
Objeto p y
Imagem p' y'
Centro de curvatura R --
Foco principal f --

Conseqüências:

  Espelho côncavo Espelho convexo
Raio de curvatura positivo negativo
Distância focal positiva negativa

 

Abscissa do Real  Virtual
Objeto -- p  positiva  negativa
Imagem -- p'  positiva  negativa

Qual é a orientação do objeto e da imagem em relação ao eixo principal? LUZ030211

Quando um espelho esférico trabalha nas condições da Aproximação de Gauss, um objeto ortogonal ao eixo principal forma uma imagem também ortogonal ao eixo principal.

Exemplos:

Como calcular a ampliação de uma imagem num espelho esférico? LUZ030212

Denominamos de ampliação de uma imagem nos espelhos esféricos à razão  A = y' / y

Na figura o ângulo formado pelo raio luminoso incidente com o eixo principal, que é a normal ao espelho, é igual ao ângulo formado pelo raio luminoso refletido com este mesmo eixo. Conseqüentemente os dois triângulos retângulos amarelos são semelhantes e portanto os seus catetos são proporcionais >>> - y' / y = p' / p

A = y' / y = - p' / p

Qual é a interpretação física do sinal da ampliação? LUZ030213

A discussão do sinal da ampliação pode ser realizada com dois objetivos distintos:
Sinal da ampliação Posição da imagem em relação ao objeto.
positivo direita
negativo invertida

 

Sinal da ampliação

 Natureza da imagem em relação à do objeto
positivo naturezas diferentes -- um real e o outro virtual
negativo mesma natureza-- ambos reais ou ambos virtuais

Como deduzir a equação dos pontos conjugados? LUZ030214

Considere a construção da imagem mostrada na figura.

Os dois triângulos retângulos em amarelo são semelhante, o que nos permite estabelecer a proporcionalidade entre os seus catetos.

A equação dos pontos conjugados acima obtida nos permite relacionar as abscissas do objeto e da imagem com a distância focal do espelho.

Estudo gráfico da formação da imagem nos espelhos esféricos. LUZ030215

Considere um objeto, ortogonal ao eixo principal de um espelho esférico côncavo, em deslocamento da esquerda para a direita, como na figura abaixo. A extremidade superior do objeto descreve uma reta, em vermelho, paralela ao eixo principal.
Esta reta vermelha representará o conjunto dos pontos objetos e a direção de um raio luminoso incidente.
A reta azul representará o raio refletido que passa pelo foco e conterá os pontos imagem conjugados representando o conjunto dos pontos imagem.
Para encontrar sobre o conjunto das imagens a posição de uma imagem conjugada a um determinado objeto, basta procurar o ponto imagem que seja colinear com o ponto objeto e o centro de curvatura. A figura mostra para alguns objetos O1, O2, etc as suas imagens I1, I2 etc

Fazendo as mesmas considerações para o espelho esférico convexo, obtemos as construções mostradas na figura abaixo.

Estudo analítico da formação da imagem nos espelhos esféricos. LUZ030216

A equação dos pontos conjugados

Os gráficos correspondentes à função estão representados abaixo e nos permitem avaliar as características da imagem correspondente a cada objeto.

 

 

Como responder perguntas sobre a formação da imagem nos espelhos esféricos utilizando o estudo gráfico? LUZ030217

Exemplos:

1) Considere o espelho esférico côncavo da figura e um objeto real na região hachureada.
Indique em que região estará situada a imagem e quais são as suas características.

Construímos o gráfico mostrando o conjunto dos objetos e o conjunto das imagens. Traçamos um eixo passando pelo conjunto dos objetos dentro da região hachureada em vermelho. Marcamos a região onde este eixo intercepta o conjunto das imagens e marcamos em azul.
O gráfico nos mostra que a imagem será virtual, direita e maior que o objeto.
Quando o objeto se aproxima do espelho a partir do foco constatamos, pela rotação do eixo que o acompanha, que a imagem diminui de tamanho e se aproxima do espelho

2) Considere o espelho esférico convexo da figura e um objeto virtual na região hachureada.
Indique em que região estará situada a imagem e quais são as suas características.

Construímos o gráfico mostrando o conjunto dos objetos e o conjunto das imagens. Traçamos um eixo passando pelo conjunto dos objetos dentro da região hachureada em vermelho. Marcamos em azul a região onde este eixo intercepta o conjunto das imagens.
O gráfico nos mostra que a imagem será virtual, invertida, menor que o objeto e situada entre o foco e o centro de curvatura.
Quando o objeto se afasta do espelho a partir do centro de curvatura constatamos, pela rotação do eixo que o acompanha, que a imagem diminui de tamanho e se aproxima do foco do espelho

3) Um espelho esférico forma de um objeto real uma imagem direita e maior.
Determine o tipo do espelho e as posições do objeto e da imagem.

Se a imagem é direita em relação ao objeto ela é de natureza diferente e portanto virtual.
As construções gráficas abaixo nos mostram situações de objeto real produzindo imagem virtual.

O espelho côncavo produz de um objeto real entre o foco e o vértice uma imagem virtual, direita e maior que o objeto.

4) Um objeto real AB perpendicular ao eixo principal de um espelho esférico forma a imagem A'B'.
Sabendo que o objeto mede 40cm, a imagem mede 20cm e a distância entre eles é 30cm, determine o tipo do espelho e da imagem, assim como as suas posições.

Traçamos os segmentos de reta AA' e BB' que deverão conter o centro de curvatura C do espelho. O eixo principal do espelho é obtido traçando uma reta perpendicular ao objeto, contendo C.
Traçamos a reta, em vermelho, contendo A e paralela ao eixo principal, representando o conjunto dos objetos A. Traçamos a reta, em azul, contendo a imagem A' representando o conjunto das imagens A'. Esta reta determina a posição do foco principal do espelho.
Como o tamanho do objeto é o dobro do da imagem, então p é o dobro de p'.
A distância 30cm entre o objeto e a imagem é a diferença entre p e p'.
Se p - p' = 30 e p = 2p' >>> p' = 30cm e p = 60cm.

Conclusão:

O espelho é côncavo, a imagem é real, está situada entre o centro de curvatura e o foco e dista 30cm do espelho.

Como responder perguntas sobre a formação da imagem nos espelhos esféricos utilizando o estudo analítico? LUZ030218

Exemplos:

1) Considere o espelho esférico côncavo da figura e um objeto real na região hachureada.
Indique em que região estará situada a imagem e quais são as suas características.

O gráfico abaixo nos mostra que o espelho côncavo forma uma imagem real invertida de um objeto real a uma distância da lente maior que a distância focal.
Conclusões da análise do gráfico:

posição do objeto
p		 tamanho da imagem em relação ao objeto justificativa posição da imagem
p'

f < p < 2f 

 maior p' > p p' > 2f 

2) Considere o espelho esférico convexo da figura e um objeto virtual na região hachureada.
Indique em que região estará situada a imagem e quais são as suas características.

O gráfico abaixo nos mostra que o espelho convexo forma de um objeto virtual a uma distância da lente menor que a distância focal, uma imagem real invertida e maior que o objeto  .
Conclusões da análise do gráfico:

posição do objeto
p		 tamanho da imagem em relação ao objeto justificativa posição da imagem
p'
|p| < |f| maior p'> |p| p' > 0

3) Um espelho esférico forma de um objeto real uma imagem direita e menor..
Determine o tipo do espelho e as posições do objeto e da imagem.

Se a imagem é direita em relação ao objeto ela é de natureza diferente e portanto virtual.
Os gráficos abaixo nos mostram situações de objeto real produzindo imagem virtual..
Como a imagem é menor que o objeto deveremos procurar uma situação em que p' seja menor do que p em valor absoluto.

O espelho convexo produz de um objeto real uma imagem virtual, direita e menor que o objeto.

Luz