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By Lucien Silvano Alhanati

  Física

Geometria das Massas GMS

Momento de Inércia GMS02

Aplicações do Momento de Inércia GMS0205

Quais são as aplicações do momento de inércia na Física? GMS020501

O momento de inércia é utilizado no estudo da dinâmica das rotações de corpos extensos.

O momento de inércia superficial é utilizado no estudo das tensões que ocorrem nas flexões e  torções. O momento de inércia superficial é também utilizado na avaliação de forças resultantes de pressões sobre superfícies. 

Momento de inércia no estudo da dinâmica das rotações de corpos extensos.
Cálculo da energia cinética de rotação de um corpo rígido GMS020502

Considere um corpo rígido de massa M girando em torno de um ponto com uma velocidade angular w como mostra a figura.

Momento de inércia no estudo da dinâmica das rotações de corpos extensos.
Cálculo da energia cinética de um corpo num movimento genérico. GMS020503

Um movimento genérico de um corpo que passa da posição 1 para a posição 3 pode ser sempre considerado como a superposição de dois movimentos básicos, um de translação (deslocamento da posição 1 para 2) e um outro de rotação em torno do centro de massa (deslocamento da posição 2 para 3)
Consequentemente a energia cinética de um corpo em movimento genérico pode ser calculada como sendo a soma da energia cinética no movimento de translação com a energia cinética no movimento de rotação.

Momento de inércia no estudo da dinâmica das rotações de corpos extensos.
Cálculo do momento cinético de um corpo num movimento de rotação em torno de um eixo que passa pelo centro de massa. GMS020504

Denominamos de momento cinético J ao momento da quantidade de movimento.
O momento cinético J é uma grandeza vetorial que será analisada escalarmente, uma vez que só consideraremos movimentos situados num mesmo plano. O tratamento escalar será estendido à todas as grandezas envolvidas.
Consideremos uma partícula de massa m girando com uma velocidade linear v e angular w em torno de um ponto distante r da partícula. 

O momento cinético J da partícula será:

J = r.mv >>> J = r.m.wr >>> J = r2m.w >>> J = I.w

Onde I é o momento de inércia da partícula em relação ao ponto centro de rotação.

Consideremos um corpo de massa M girando com uma velocidade angular w em torno de um eixo perpendicular ao plano da figura.

Momento de inércia no estudo da dinâmica das rotações de corpos extensos.
Teorema do momento cinético. GMS020505

Consideremos uma partícula de massa m girando com uma velocidade linear v e angular w em torno de um ponto distante r da partícula, cujo momento cinético é J. Seja F uma força atuante sobre a partícula, cujo momento em relação ao centro de rotação é MF.
Lembramos que estamos dando tratamento escalar à todas as grandezas envolvidas no estudo, uma vez que admitimos um movimento num mesmo plano.

Consideremos um corpo de massa m girando com uma velocidade angular w em torno de um eixo perpendicular ao plano da figura, cujo momento cinético é JC sendo I o seu momento de inércia. Sobre o corpo está atuando um sistema de forças representado pelas forças F1F2 ......Seja M o momento resultante do sistema de forças em relação ao centro de rotação.

Momento de inércia no estudo da dinâmica das rotações de corpos extensos.
Quando ocorre a conservação do momento cinético de um corpo? GMS020506

Quando o momento cinético JC de um corpo é constante, a sua taxa de variação é nula, sendo nulo o momento resultante do sistema de forças que atua sobre o corpo.

Momento de inércia no estudo da dinâmica das rotações de corpos extensos.
Como os atletas utilizam o momento de inércia para controlar a velocidade de rotação de seu corpo? GMS020507

Consideremos um atleta realizando um salto de trampolim.
Vamos convencionar os símbolos abaixo

O atleta controla o momento de inércia de seu corpo em relação ao centro de massa esticando e dobrando os braços e pernas. Quanto mais esticados os braços e pernas maior é o momento de inércia.
Quando o atleta salta a força que o trampolim faz sobre os seus pés, não só produz um impulso para frente e para cima como também introduz um movimento de rotação em relação ao centro de massa.
A partir deste momento a única força atuante sobre o corpo do atleta é o seu peso aplicado no centro de massa (estamos desprezando a resistência do ar por ser muito pequena devido a baixa velocidade de deslocamento do corpo), sendo nulo o seu momento em relação a este ponto e consequentemente o momento cinético do corpo do atleta é constante.

I.w = constante

Quando o atleta quer dar várias voltas no ar antes de atingir a água ele necessita aumentar a sua velocidade angular e para isto é necessário diminuir o seu momento de inércia encolhendo os braços e as pernas. Para atingir a água de maneira elegante ele deve voltar à velocidade angular primitiva e para isto estica novamente os braços e pernas, aumentando o seu momento de inércia.

I >>> menor
w >>> maior

Observação importante:

Este recurso para controlar a velocidade angular de rotação é utilizado em outras atividades esportivas como a patinação no gelo e a ginástica olímpica.

Centro de massa superficial no estudo da força exercida por um líquido sobre uma superfície plana imersa.
Cálculo da força que um líquido em equilíbrio exerce sobre uma superfície plana vertical imersa.  GMS020508

Consideremos uma superfície plana, vertical, de área S, imersa num líquido de massa específica m num local onde a aceleração da gravidade seja g.
Consideremos ainda uma faixa horizontal de área elementar dS

Seja F a força exercida pelo líquido sobre a superfície. 
Sabemos que a pressão p exercida pelo líquido na profundidade y é >>> p = ymg

Conclusão:

A força F exercida pelo líquido sobre a superfície é igual ao produto de sua área S pela pressão pCM  existente no centro de massa 

F = S.pCM

Momento de inércia superficial no estudo da força exercida por um líquido sobre uma superfície plana imersa.
Cálculo da posição do centro de empuxo. GMS020509

Consideremos uma superfície plana, vertical, de área S, imersa num líquido de massa específica m num local onde a aceleração da gravidade seja g.
Consideremos ainda uma faixa horizontal de área elementar dS
Seja HCM a profundidade do centro de massa.

Denominemos de centro de empuxo ao ponto de aplicação da força resultante F exercida pelo líquido sobre a superfície. Seja HE a sua profundidade.
Sabemos que a pressão p exercida pelo líquido na profundidade y é >>> p = ymg


Geometria das massas