Momento de inércia de um sistema contínuo

Como calcular o momento de inércia de uma barra retilínea de material homogêneo em relação a um eixo perpendicular à barra, passando pela sua extremidade ? GMS020201

Sendo a barra de material homogêneo os comprimentos são proporcionais às massas, isto é, a cada elemento de massa corresponderá um elemento de comprimento.
O momento de inércia da barra é a soma dos momentos de inércia de cada elemento da barra, ou seja

Como calcular o raio de giração de uma barra retilínea de material homogêneo em relação a um eixo perpendicular à barra, passando pela sua extremidade ? GMS020202

Sabemos que o raio de giração K corresponde à distância do eixo na qual devemos concentrar toda a massa para obtermos o mesmo momento de inércia, logo

Como calcular o momento de inércia de uma barra retilínea de material homogêneo em relação a um eixo perpendicular à barra, passando pelo Centro de Massa ? GMS020203

A barra poderá ser dividida ao meio sendo o seu momento de inércia a soma dos momentos de inércia de cada pedaço

Como calcular o raio de giração de uma barra retilínea de material homogêneo em relação a um eixo perpendicular à barra, passando pelo Centro de Massa ? GMS020204

Sabemos que o raio de giração K corresponde à distância do eixo na qual devemos concentrar toda a massa para obtermos o mesmo momento de inércia, logo

Como calcular o momento de inércia de uma barra circular de material homogêneo em relação a um eixo perpendicular à barra, passando pelo Centro de Massa ? GMS020205

Sendo a barra de material homogêneo os comprimentos são proporcionais às massas, isto é, a cada elemento de massa corresponderá um elemento de comprimento.

O momento de inércia da barra é a soma dos momentos de inércia de cada elemento da barra, ou seja

Como calcular o raio de giração de uma barra circular de material homogêneo em relação a um eixo perpendicular à barra, passando pelo Centro de Massa ? GMS020206

Sabemos que o raio de giração K corresponde à distância do eixo na qual devemos concentrar toda a massa para obtermos o mesmo momento de inércia, logo:

Como calcular o momento de inércia de uma chapa circular de material homogêneo em relação a um eixo perpendicular à chapa, passando pelo Centro de Massa ? GMS020207

Consideremos uma chapa circular de material homogêneo dividida em faixas circulares elementares. Consideremos ainda uma faixa circular elementar de raio x, largura dx e área dS = 2px.dx, cuja massa é dM.
A área S da chapa de massa M e raio R é igual a S = pR²

Cada elemento de massa corresponderá um elemento de área e sendo a chapa de material homogêneo as áreas são proporcionais às massas,

dM / dS = M / S >>> dM = (M / S) . dS >>> dM = M.(2px.dx) / (pR²) >>>
dM = (2M / R²).xdx

O momento de inércia da chapa é a soma dos momentos de inércia de cada faixa elementar da chapa.

Como calcular o raio de giração de uma chapa circular de material homogêneo em relação a um eixo perpendicular à chapa, passando pelo Centro de Massa ? GMS020208

Sabemos que o raio de giração K corresponde à distância do eixo na qual devemos concentrar toda a massa para obtermos o mesmo momento de inércia, logo:

Como calcular o momento de inércia de um cilindro de material homogêneo em relação a um eixo paralelo à geratriz, passando pelo Centro de Massa? GMS020209

Consideremos um cilindro de material homogêneo dividido em faixas circulares elementares. Consideremos ainda uma chapa circular elementar de raio R, altura dy e massa dM.

O momento de inércia do cilindro é a soma (integral) dos momentos de inércia das chapas.

Como calcular o raio de giração de um cilindro de material homogêneo em relação a um eixo paralelo à geratriz, passando pelo Centro de Massa? GMS020210

Sabemos que o raio de giração K corresponde à distância do eixo na qual devemos concentrar toda a massa para obtermos o mesmo momento de inércia, logo:

Como calcular o momento de inércia de um cone de material homogêneo em relação a um eixo que passa pelo vértice e é ortogonal à base? GMS020211

Consideremos um cone de material homogêneo dividido em faixas circulares elementares. Consideremos ainda uma chapa circular elementar de raio x, altura dy, massa dM e volume dV.

O momento de inércia do cilindro é a soma (integral) dos momentos de inércia das chapas.

Como o material é homogêneo há uma proporcionalidade entre a massa e o volume com:

Substituindo (2) e (3) em (1), temos:

Como calcular o raio de giração de um cone de material homogêneo em relação a um eixo que passa pelo vértice e é ortogonal à base? GMS020212

Sabemos que o raio de giração K corresponde à distância do eixo na qual devemos concentrar toda a massa para obtermos o mesmo momento de inércia, logo: