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By Lucien Silvano Alhanati

  Física

Geometria das Massas GMS

Centro de Massa GMS01

Centro de Massa de um Sistema Contínuo de Partículas GMS0102

Qual é a posição do Centro de Massa de um corpo de material homogêneo que possui um eixo de simetria ? GMS010201

Quando um corpo possui um eixo de simetria podemos considerar como sendo constituído por pares de partículas iguais e eqüidistante do eixo.

 Cada par de partículas terá o seu CM sobre o eixo e conseqüentemente o

CM do corpo pertence ao eixo de simetria

Qual é a posição do Centro de Massa de um corpo de material homogêneo que possui um centro de simetria ? GMS010202

O CM pertence aos eixos de simetria.

O centro de simetria é o ponto de encontro de dois ou mais eixos de simetria, logo o

CM do corpo está no centro de simetria

Exemplo:
Considere a chapa retangular mostrada na figura.

O CM está no centro de simetria, logo as suas coordenadas são

CM ( 20cm; 10cm)

Como determinar a posição do Centro de Massa de um corpo que é constituído por partes de material homogêneo com centro de simetria ? GMS010203

Cada parte será considerada como uma partícula de massa igual à de cada parte concentrada no seu centro de massa.
Considere um corpo constituído por 3 partes mostradas na figura:

 

Parte massa coordenadas
amarela m1 x1;y1
azul m2 x2;y2
verde m3 x3;y3

O CM do corpo será calculado como se calcula o CM de um sistema discreto de partículas.

O CM do conjunto terá como coordenadas:

xCM =(m1x1+m2x2+m3x3) / (m1+m2+m3) e
yCM =(m1y1+m2y2+m3y3) / (m1+m2+m3)

Exemplo:
Considere uma chapa em L de material homogêneo mostrada na figura. A chapa será dividida em 3 partes retangulares. 

Como a massa de cada parte é proporcional à sua área as massas serão substituídas pelas áreas no cálculo da média ponderada.

Parte área (cm2) coordenadas(cm)
azul 1200 10;50
amarela 400 10;10
rosa 1600 60;10

O CM da chapa terá como coordenadas:

xCM=(1200x10+400x10+1600x60)/(1200+400+1600)
xCM= 35cm
yCM=(1200x50+400x10+1600x10)/(1200+400+1600)
yCM= 25cm

Como determinar a posição do Centro de Massa de uma chapa de material homogêneo cujos limites podem ser definidos matematicamente ? GMS010204

Vamos determinar a ordenada do CM de massa da chapa de material homogêneo de contorno azul mostrada na figura. 

Dividimos a chapa em faixas, de alturas dy muito pequenas, paralelas ao eixo dos X.
A ordenada do CM será a média ponderada das ordenadas y dos elementos de área ds tomando como pesos as áreas ds:

A abscissa do CM será obtida da mesma forma:

Exemplo:
Veja em LDT040602

Qual é a posição do Centro de Massa de uma chapa de material homogêneo de forma triangular ? GMS010205

Quando dividimos o triângulo em faixas de pequena altura, paralelas a um dos lados, o centro de massa de cada faixa esta situado no meio da faixa e conseqüentemente sobre a mediana. O CM do triângulo estará conseqüentemente situado sobre a mediana.
Como o CM do triângulo está situado sobre as medianas, a sua posição corresponde ao ponto de encontro das medianas do triângulo.

A geometria nos informa que este ponto está situado a uma distância de cada vértice igual a 2/3 do comprimento da mediana.

Como determinar a posição do Centro de Massa de uma chapa de material homogêneo cujos limites não são definidos matematicamente ? GMS010206

Suspendemos a chapa por meio de uma força (verde). Quando a chapa assume a posição de equilíbrio, traçamos a vertical que passa pelo ponto de suspensão. Na situação de equilíbrio o peso (vermelho) e o seu ponto de aplicação, o CM, estarão contidos nesta vertical.

Suspendemos a chapa novamente a partir de um novo ponto de suspensão, repetindo os procedimentos anteriores.

O CM coincide com a interseção das duas verticais.

Como determinar a posição do Centro de Massa de um sólido de material homogêneo cujos limites podem ser definidos matematicamente ? GMS010207

Vamos determinar a ordenada do CM de massa do sólido de material homogêneo de contorno preto mostrado na figura. 

Dividimos o sólido em faixas, de alturas dy muito pequenas, paralelas ao eixo dos X.
A ordenada do CM será a média ponderada das ordenadas y dos elementos de volume dv tomando como pesos os volumes dv:

A abscissa do CM será obtida da mesma forma:

Exemplo:
Veja em LDT040606

Como determinar a posição do Centro de Massa de um corpo que é constituído por partes de material homogêneo com centro de massa conhecido ? GMS010208

Cada parte será considerada como uma partícula de massa igual à de cada parte concentrada no seu centro de massa.
Considere um corpo constituído por 3 partes mostradas na figura:

O CM do corpo será calculado como se calcula o CM de um sistema discreto de partículas

Exemplo:
Considere uma chapa trapezoidal de material homogêneo mostrada na figura. A chapa será dividida em 2 partes, uma retangular e outra triangular. 

 


Geometria das massas