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By Lucien Silvano Alhanati

  Física

Forças FOR

Ebook >>> Estudo das Forças

Forças em equilíbrio FOR02

Equilíbrio de cabos suspensos FOR0203

 Qual são as possíveis formas assumidas por um cabo suspenso em equilíbrio ? FOR020301

Um cabo flexível homogêneo suspenso em equilíbrio pode assumir a forma de uma:
  • catenária
  • parábola

Qual é a condição para que o cabo tenha a forma de uma catenária ? FOR020302

O cabo assume a forma de uma curva denominada de catenária quando ele está submetido apenas ao seu próprio peso.

Catenária >>> carga uniformemente distribuída ao longo do cabo.

Como deduzir a equação da catenária ? FOR020303

Consideremos o trecho AB de um cabo flexível, suspenso em equilíbrio.
O comprimento de AB é s e seu peso é P, sendo A o ponto mais baixo do cabo.

Para resolver a equação diferencial (3) vamos proceder uma mudança de variáveis.

Realizando as operações indicadas teremos:

Qual é a condição para que o cabo tenha a forma de uma parábola ? FOR020304

O cabo assume a forma de uma parábola quando está submetido a uma força uniformemente distribuída na horizontal. Esta condição ocorre em duas situações:
  • o cabo sustenta uma ponte pênsil, sendo o seu peso próprio desprezível em face ao peso da ponte.
  • o cabo está muito esticado estando o seu peso próprio distribuído uniformemente  na horizontal de forma aproximada.

Parábola >>> carga uniformemente distribuída na horizontal.

Como deduzir a equação da parábola ? FOR020305

Considere um cabo flexível suspenso submetido a uma carga uniformemente distribuída na horizontal e em equilíbrio. 
Consideraremos o trecho AB sendo A o seu ponto mais baixo. 
Sendo o cabo flexível as trações têm a direção da tangente.
O trecho AB está em equilíbrio sob a ação de três forças, a tração To na extremidade A, a tração T na extremidade B, e a força de carga x.p sendo x a distância horizontal entre A e B e p a força de carga por unidade de comprimento.

Como calcular a tração no cabo com a forma de uma parábola ? FOR020306

Cálculo da tração no cabo num ponto genérico (x ; y).
Dados:
  • coordenadas dos pontos A e B de ancoragem do cabo e de seu ponto mais baixo.
  • valor da carga P sobre o cabo.

Determinação de p carga por unidade de comprimento horizontal
Seja L a distância horizontal entre A e B >>> p = P / L

Determinação da tração no ponto genérico (x ; y) e no ponto mais baixo do cabo.

Exemplos:

  • Cálculo da tração nos pontos de ancoragem de um dos 2 cabos de sustentação de uma ponte pênsil mostrada na figura.
    Calcular também a tração mínima em cada cabo.

Como existem dois cabos cada um deles está carregado com uma carga uniformemente distribuída na horizontal igual a >>> p = 120.000 kgf / 12 m >>> p = 10.000 kgf / m.

  • Cálculo da tração nos pontos de apoio do cabo de uma linha de transmissão de energia elétrica mostrada na figura.
    Calcular também a tração mínima no cabo.

O cabo está carregado com uma carga uniformemente distribuída na horizontal igual a 
>>> p = 200 kgf / 100 m >>> p = 2 kgf / m.

Observação importante:

A força de tração é muito grande em comparação com o peso do cabo sendo praticamente constante em todos os pontos.

Quais são as principais características de peças estruturais desenvolvidas a partir da catenária ? FUN020307

A catenária é a forma assumida por um cabo suspenso submetido apenas ao seu próprio peso, onde as tensões internas equilibram naturalmente o peso. Esta característica é transportada para peças estruturais desenvolvidas a partir da catenária.
As principais características destas peças são:
  • leves e muito estáveis.
  • grande resistência a ventos fortes.
  • beleza e harmonia de formas.

Exemplos de arcos construídos a partir da catenária. FUN020308

A catenária invertida é uma excelente forma para construção de arcos que se sustentem pelo próprio peso.
  • O arquiteto espanhol Antônio Gaudi (1823 - 1926) usou estes arcos em suas obras

Arcos na Basílica da Sagrada Família em Barcelona - Espanha.

Arco catenário, casa Milá

  • O arquiteto Eero Saarinem (1910 - 1961) também utilizou a catenária em seus projetos.

Gateway Arch em Saint Louis - Estados Unidos com altura de 192m.

Exemplos de abóbadas construídas com a forma de catenárias de revolução. FUN020309

 Superfícies formadas por uma revolução de catenárias.

Casas de uma fazenda orgânica na Índia.

Fornos para cerâmica resistentes a altas variações de temperaturas.

Cúpula de um templo

Exemplos de superfícies construídas com a forma de translações de catenárias. FUN020310

Superfícies formadas por uma translação da catenária são usadas como cobertura por vários arquitetos:
  • Eero Saarinem 

Dulles Internacional Airport - Estados Unidos
"O telhado com forma de catenária é importante tanto esteticamente como funcionalmente, dá estabilidade, flexibilidade e firmeza à estrutura. Sua forma tem qualidade acústica dispersando os ruídos rapidamente, algo de grande valor para um aeroporto, como também é resistente à ventos fortes."

  • Álvaro Siza arquiteto português

Cobertura esbelta com grande vão.

Barracas de camping que resistem a fortes ventos.

Exemplos da presença da catenária nos seres vivos FUN020311

A catenária marca presença nos seres vivos como no contorno de asas de borboletas.
A catenária aparece na formação da arcada dentária no ser humano, constituindo uma forma padrão usado em ortodontia.

Exemplos de desenho de móveis utilizando a catenária FUN020312

A beleza e a harmonia de formas das superfícies geradas pela catenária é utilizado no desenho de móveis.
  • Mesa utilizando uma superfície de revolução gerada por uma catenária.

  • Cadeira utilizando uma superfície gerada pela translação de uma catenária

 


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