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By Lucien Silvano Alhanati

Física

Eletricidade ELE

Campo e Potencial elétrico ELE09

Teorema de Gauss ELE0904

LEGENDA:
representação do vetor x -- x (em negrito) 
 representação do
módulo do vetor x -- x (normal)

 O que é o fluxo do vetor E numa superfície? ELE090401

Seja uma superfície elementar (infinitesimal) de área dS e o vetor unitário u de sua normal.
Considere o vetor dS cujo módulo é dS tendo a direção da normal >>> dS = dS.u  
Considere esta superfície elementar situada num campo elétrico onde o vetor característico do campo é E.

Chamamos de fluxo dF do vetor E na superfície elementar dS ao produto escalar.

dF = E.dS  ou  dF = E.dS.cosa

Considere uma superfície finita de área S num campo elétrico. 
O fluxo F do vetor E na superfície S é a soma (integral) dos fluxos dF nas superfícies elementares dS.

Caso particular:
Fluxo do vetor E de um campo elétrico uniforme numa superfície plana de área S
Neste caso E e a são constantes e o fluxo calculado pela integral acima resulta em

F = E.S.cosa

Observação muito importante:
A grandeza fluxo do vetor intensidade de campo elétrico não tem significado físico, trata-se apenas de uma operação vetorial, muito útil no desenvolvimento da  eletrostática.

Qual é a unidade SI de fluxo do vetor E? ELE090402

A grandeza fluxo F é igual ao produto do vetor E por uma área A unidade SI será 1N.m2 / C

Em que condições o fluxo de E é nulo? ELE090403

Como F = E.S.cosa o fluxo será nulo quando cosa for zero ou seja quando a = 90o

Em que condições o fluxo de E é máximo e qual é o seu valor? ELE090404

Como F = E.S.cosa o fluxo será máximo quando cosa for 1 ou seja quando a = 0o 
Fmax = E.S.cos 0o >>> Fmax = E.S.

O que se entende por permissividade ou constante dielétrica de um meio? ELE090405

A constante K de proporcionalidade da Lei de Coulomb, que é função do meio, pode ser escrita como

onde e é uma outra constante que depende do meio denominada de permissividade do meio

O que se entende por permissividade relativa ou constante dielétrica relativa de um meio? ELE090406

Permissividade relativa er de um meio é a razão entre a permissividade do meio e e a permissividade do vácuo eo.

er = e / eo

Qual é a unidade SI de permissividade e permissividade relativa de um meio? ELE090407

Na Lei de Coulomb F = K.(q.q') / d2 >>> K = F.d2 / q.q'.
Dimensionalmente [K] = F.L2.Q-2 
Como K = 1 / 4pe então [K] = [e]-1 ou que  [e]-1 = F.L2.Q-2 >>>  [e]  = F-1.L-2.Q2
A unidade SI de e é 1 C2/N.m2 .

Qual é o valor da permissividade do vácuo? ELE090408

A permissividade do vácuo obtida experimentalmente é eo=8,85.10-12 u SI

Como calcular o fluxo do vetor E no campo de uma carga puntiforme? ELE090409

Consideremos uma carga puntiforme Q produzindo numa superfície elementar de área dS, distante r um campo E
A carga puntiforme e a superfície elementar definem um ângulo sólido dw, conforme mostra a figura:

Num ângulo sólido finito w o fluxo será 

F = Qw/4pe 

Observação importante:
O sinal do fluxo é o da carga geradora Q.

Qual é o fluxo total do vetor E no campo de uma carga puntiforme? ELE090410

Consideremos uma carga puntiforme geradora de um campo elétrico e uma superfície fechada qualquer envolvendo a carga.
O ângulo sólido total definido pela superfície e a carga vale w=4p esfero-radianos.
O fluxo total assume o valor:

Ft = Q/e 

Em que consiste o Teorema de Gauss? ELE090411

O Teorema de Gauss estuda o fluxo através de uma superfície fechada produzido por cargas interiores e exteriores à superfície.
O Teorema é usado como ferramenta de cálculo para várias determinações em eletrostática, principalmente a determinação do vetor intensidade de campo elétrico produzido por vários tipos de  distribuições de cargas.
O estudo do Teorema de Gauss será dividido em duas partes:
  • fluxo através de uma superfície fechada produzido por cargas interiores à superfície.
  • fluxo através de uma superfície fechada produzido por cargas exteriores à superfície.

Primeira parte do estudo do Teorema de Gauss, fluxo através de uma superfície fechada produzido por cargas interiores. ELE090412

Considere

O fluxo através de uma superfície fechada produzido por cargas interiores é igual à soma algébrica das cargas interiores dividida pela permissividade do meio.

Segunda parte do estudo do Teorema de Gauss, fluxo através de uma superfície fechada produzido por cargas exteriores. ELE090413

Considere uma superfície fechada S e uma carga Q externa, um ângulo sólido elementar dw de vértice sobre a carga geradora Q. O ângulo sólido delimita sobre a superfície S duas superfícies elementares dS1 e dS2 .

Convencionalmente as normais a uma superfície fechada são sempre vetores orientados para fora da superfície, acarretando, no caso da figura, fluxos de sinais contrários. Na superfície dS1 o fluxo dF1 é negativo (a1> 90o) e na superfície dS2 o fluxo dF2 é positivo (a2 < 0o).
Os dois fluxos são de mesmo valor absoluto Q.dw / e, ou seja, dF1 = - dF2 .
O fluxo elementar produzido pela carga Q no interior do ângulo sólido, na superfície S é

dF   = dF1 + dF2 >>> dF = 0 

O fluxo através de uma superfície fechada produzido por cargas exteriores é nulo.

Enunciado do Teorema de Gauss. ELE090414

O fluxo através de uma superfície fechada (doravante denominada de superfície gaussiana) produzido por cargas interiores e exteriores é igual à soma algébrica das cargas interiores dividida pela permissividade do meio.

Operacionalização do Teorema de Gauss. ELE090415

Para operacionalizar o Teorema de Gauss procedemos da seguinte maneira:
  • criamos uma superfície gaussiana com uma forma tal que seja conhecido o vetor intensidade de campo em direção e sentido em todos os seus pontos.
  • procedemos ao cálculo do fluxo através da superfície gaussiana utilizando a definição de fluxo.
  • procedemos ao cálculo do fluxo através da superfície gaussiana utilizando o Teorema de Gauss.
  • igualamos os valores acima e calculamos o módulo do vetor E.

Cálculo do valor do vetor intensidade de campo elétrico produzido por uma película plana de cargas uniformemente distribuídas. ELE090416

Considere uma película plana de cargas positivas uniformemente distribuídas como mostra a figura.

O campo gerado pela película é uniforme sendo as LF ortogonais à distribuição das cargas.

  • Escolha da superfície gaussiana. 
    Ela será uma superfície cilíndrica de geratriz ortogonal à película. A gaussiana é  fechada por duas bases, de área S, paralelas à  película. Marcamos o vetor intensidade de campo em pontos da superfície gaussiana.
  • Cálculo do fluxo pela definição.
    O fluxo na superfície F será igual a soma do fluxo nas bases FB com o fluxo na superfície lateral FL.  
    F
    = FB + FL , como FL = 0 e FB = 2S.E,  então F = 2S.E  
  • Cálculo do fluxo pelo Teorema de Gauss.
    O fluxo é igual à soma das cargas interiores dividida pela permissividade do meio.
    F = Q / e
  • Igualamos os fluxos
    2S.E = Q / e >>>  E = Q/2Se como a densidade elétrica superficial é s= Q / S concluímos que:

    E = s/2e


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