Termodinâmica do gás perfeito

1^a - As moléculas realizam movimentos aleatórios sem direção preferencial.
2^a - As dimensões das moléculas são desprezíveis em comparação com os espaços vazios.
3^a - As forças de ação à distância entre as moléculas são desprezíveis. Serão apenas consideradas as forças desenvolvidas nos choques entre moléculas e entre moléculas e as paredes do recipiente que contém o gás.
4^a - Os choques realizados pelas moléculas são perfeitamente elásticos.

Considere um cubo de aresta a contendo N moléculas de massa m₁em movimento com uma velocidade média v.

Como não há direção preferencial de movimento podemos admitir que num determinado instante 1/3 do número total de moléculas esteja em movimento na direção de cada eixo coordenado.

Vamos considerar as moléculas que se deslocam na direção do eixo OX.

Quando uma molécula se desloca de 2a podemos garantir que ela se chocou uma vez com a face do cubo contida no plano YOZ.
A molécula percorre a distância 2a com uma velocidade v num tempo t igual a

t = 2a / v

Como choque da molécula com a parede é elástico, a velocidade da molécula após o choque é igual em módulo a velocidade antes do choque.

A variação Dq₁ do momento linear da molécula ao se chocar com a parede é

Dq₁ = m₁v - m₁(-v) >>> Dq₁ = 2m₁v.

Durante o tempo t = 2a / v todas as N/3 se chocaram uma vez com a face YOZ tendo ocorrido então uma variação do momento linear igual a

Dq = (N/3).Dq₁ >> Dq = (N/3).2 m₁v.

Esta variação do momento linear ocorreu devido a uma força F de interação entre a face YOZ e as N/3 moléculas.
O impulso I produzido pela força F foi igual a

I = F.t >> I = F.(2a / v)

Como o impulso é igual à variação do momento linear podemos escrever que

F.(2a / v) = (N/3).2 m₁v >>> F.a = (N / 3). m₁v² (1)

A pressão p exercida pelo gás sobre a face YOZ é igual à razão entre a força F e a área a² da face

p = F / a² >>> F = p.a²

Substituindo em (1) teremos >>> p.a².a = (N / 3). m₁v² (2)
A energia cinética de uma molécula é >>> Ec₁ = (1/2).m₁.v² >>> m₁v² = 2Ec₁
O volume V do gás é >>> V = a³ . Substituindo a³ = V e m₁v² = 2Ec₁ em (2) teremos

p.V = (N/3).2Ec₁ >>> p.V = (2/3).N.Ec₁ (3)

Como a energia cinética Ec do gás é igual ao número N de moléculas vezes a energia cinética Ec1 de uma molécula >>> Ec = N.Ec₁ Substituindo em (3) >>> p.V = (2/3).Ec (4)
A equação de Clapeyron nos informa que >>> pV = nRT Substituindo em (4) teremos

nRT = (2/3).Ec >>> Ec = (3/2)nRT

Conclusões importantes:

A energia cinética das moléculas de um gás não depende da natureza do gás sendo apenas função do número de mols e da temperatura.
A energia cinética das moléculas de 1 mol de um gás é a mesma para todos os gases à mesma temperatura.

É o numero de moléculas existentes em 1 mol da substância.

O Número de Avogadro é A = 6,023x10²³ moléculas / mol

Sabemos que a energia cinética das moléculas de um gás é >>> Ec = (3/2)nRT (1).
Sabemos que a energia cinética Ec das moléculas do gás é N (número de moléculas) vezes a energia cinética Ec₁ de uma molécula >>> Ec = N.Ec₁ (2)
Sabemos que o número N de moléculas é >>> N = n.A, onde A é o Número de Avogadro e n o número de mols. Substituindo em (2) >>> Ec = n.A.Ec₁.
Substituindo em (1) >>> n.A.Ec₁ = (3/2)nRT >>> Ec₁ = (3/2)(R / A)T (3).
R e A são constantes universais, isto é, possuem o mesmo valor para todos os gases.
A razão R / A será também uma constante universal k denominada de constante de Boltzmann, cujo valor no Sistema Internacional é >>> k = R / A >>> k = 1,38 J / K.
Substituindo em (3) >>> Ec₁ = (3/2).kT

Sim
A energia cinética de uma molécula de um gás é Ec₁ = (3/2).kT onde k (constante de Boltzmann) é uma constante universal, ou seja, tem o mesmo valor para todos os gases.
A energia cinética de uma molécula tem conseqüentemente o mesmo valor para todos os gases à mesma temperatura.

Sim.
Consideremos dois gases A e B cujas moléculas possuem massas m_A e m_B e velocidades v_A e v_B.
Como a temperatura dos gases é a mesma as energias cinéticas das moléculas são iguais.

(1/2).m_A.v_A² = (1/2).m_B.v_B² >>> (v_A² / v_B²) = m_B / m_A
Se m_B > m_A >>> v_A > v_B

Sim.
Como a energia cinética do gás é Ec = (3/2)nRT quando T = 0 >>> Ec = 0

É o conjunto de energias armazenadas pelo gás.
Estas energias se apresentam de várias formas, como por exemplo:
- energia térmica associada à energia cinética das moléculas do gás
- energia química associada à energia de formação do composto químico.
- energia atômica associada a energia armazenada em cada átomo

Não, devido à grande diversidade das energias e a dificuldade de se estabelecer valores absolutos de energia.
É importante observar que não há interesse prático de se conhecer o valor de uma energia interna uma vez que só trabalhamos com variações de energia.

Sim, uma vez que neste caso só haveria variação da energia térmica que está associada à energia cinética das moléculas do gás.

Neste caso a variação DU da energia interna é igual à variação DEc da energia cinética das moléculas.
A energia cinética das moléculas do gás é >>> Ec = (3/2).n.R.T.
A variação da energia cinética será >> DEc = (3/2).n.R.T₂ - (3/2).n.R.T₁ >>> DEc = (3/2).n.R.DT
A variação da energia interna será DU = DEc >>> DU = (3/2).n.R.DT
Observação importante.

A variação da energia interna de um gás só depende do número de mols e da variação da temperatura.

Numa evolução isotérmica a temperatura não varia e neste caso a energia interna que só depende da temperatura, também não varia.

T = constante >>> DT = 0 >>>DU = 0

O significado físico está mostrado na tabela abaixo

DU	U	T
positivo	aumenta	aumenta
negativo	diminui	diminui