By Lucien Silvano Alhanati

Escalas logarítmicas

-Vô, tenho lido sobre terremotos cuja magnitude é expressa por um valor na escala Richter. O que é esta escala Richter?

-A escala Richter é uma escala logarítmica usada para expressar a magnitude dos terremotos.
Para entender esta escala vamos inicialmente recordar o conceito de logaritmo.
Considere a igualdade >>> bx = a. Nesta igualdade dizemos que x é o logaritmo de a na base b e representamos desta maneira >>> x = logb a. 

-O que pode ser afirmado sobre  a e b? Quais são as bases b mais usadas?

-A base b do logaritmo é sempre um número positivo e diferente de 1 e o número a é sempre positivo. 
As bases mais usadas são: 10 e e (número irracional de valor aproximado 2,7182....).
Os logaritmos de base 10 são denominados de logaritmos decimais.
Os logaritmos de base e são denominados de logaritmos naturais ou neperianos.

Base do sistema de logaritmos Denominação Representação
10 decimal x = log a
e neperiano x = L a

-Quando são usadas as escalas logarítmicas?

-As escalas logarítmicas são usadas em várias situações diferentes.
Vamos nos restringir aos logaritmos decimais em apenas duas situações distintas:

-A escala Richter esta enquadrada em qual situação?

-A intensidade de um terremoto pode ser medida pela sua potência ou pela energia desenvolvida. Nos dois casos os valores são muito amplos e elevados, com por exemplo:

    Na escala Richter a magnitude M de um terremoto é igual  ao logaritmo decimal da razão entre a sua intensidade física I a intensidade física Io de um terremoto tomado como padrão >>> M = log (I / Io)

-Veja se estou certa. Um terremoto de magnitude 5 é aquele onde 5 = log(I / Io) >>> I / Io = 105 ou seja cuja intensidade I = 105 Io ou seja cuja intensidade é 100.000 vezes maior que a do terremoto padrão.
Então na escala Richter enquanto a magnitude varia de uma unidade a intensidade do terremoto varia de 10 vezes.

-Certíssima. Agora você percebe que na escala Richter podemos lidar com grandes valores de uma maneira bastante amigável.
Os terremotos mais intensos são de magnitude aproximadamente 9 na escala Richter isto é estes terremotos são 109 ( 1 bilhão ) vezes mais intensos que o terremoto padrão.

-Um outro exemplo do uso da escala logarítmica para representar grandezas com uma amplitude de valores muito grande é o pH, conceito criado pelo químico dinamarquês SØrensen para representar a concentração do íon hidrogênio [H+] objetivando medir a acidez de uma solução usada na fabricação de cerveja.

-Qual é a amplitude dos valores possíveis da concentração do íon hidrogênio? 
Como o pH representa esta concentração?

-A [H+] pode variar desde 100 mol / L até 10-14 mol / L.
Denomina-se de pH ao logaritmo decimal do inverso da [H+] >>> pH = log ( 1 / [H+] ) 

-Veja se entendi, quando [H+] = 10-5 mol / L >>> pH = log (1 / 10-5) >>> pH = - log 10-5 >>> pH = 5

-Vô, você falou que as escalas logarítmicas são usadas também quando relacionamos sensações com com as excitações correspondentes, como é isto?

-Em 1850 dois cientistas alemães, Ernst Heinrich Weber e Gustav Theodor Fechner, enunciaram uma lei fisiológica, hoje denominada de lei de Weber-Fechner que afirma que as sensações S são proporcionais K ao logaritmo das excitações E que as produzem >>> S = K.log E., ou seja enquanto as excitações crescem em progressão geométrica as sensações crescem em progressão aritmética.
Esta lei se aplica à todos os sentidos.

-Você poderia citar alguns exemplos do uso da lei de Weber-Flechner?

-Aplicada à audição. A grandeza denominada nível sonoro b, relativa à sensação, é definida como sendo igual ao logaritmo decimal da razão entre a intensidade sonora I causadora da sensação e a intensidade sonora Io correspondente ao limiar da audição >>> b = log (I / Io).

-O que é o limiar da audição?

-É a menor potência sonora audível.
O limiar da audição vale  Io = 10-12 W / m2 . 

-Como é expresso o nível sonoro?

-O nível sonoro é expresso em bel (B).
Por exemplo um som de potência I = 10-4 W / m2 corresponde a um nível sonoro 
b = log (10-4 / 10-12) >>> b = log 108 >>> b = 8 B.
É usual representar o nível sonoro em decibel (dB). No exemplo o nível sonoro é b = 80 dB.

-Eu sei por experiência que o som quando muito forte produz dor.
Qual é a potência a partir da qual a sensação sonora é de dor?

-Esta potência é denominada de limiar da dor e vale I = 1 W / m2 .

-Então a sensação sonora ocorre até uma intensidade de 1 W / m2 e a partir deste valor a sensação é de dor.
A tabela representa o que você me explicou.

Intensidade da vibração 10-12 W / m2  
limiar da audição 		sensação sonora 1W / m2 
limiar da dor		 sensação de dor
nível sonoro em bel 0 menor que 12 B 12 B maior que 12 B
nível sonoro em decibel 0 menor que 120 dB 120 dB maior que 120 dB

-A escala logarítmica é usada também para relacionar a sensação luminosa do brilho das estrelas com a intensidade luminosa emitida por ela. esta relação obedece à lei de Weber-Flechner.
A grandeza denominada magnitude M de uma estrela relativa à sensação, é definida como sendo igual ao logaritmo decimal da razão entre a intensidade luminosa Io emitida por uma estrela tomada como padrão e a intensidade luminosa I causadora da sensação luminosa >>> M = log ( Io / I ).   

-Isto significa que uma estrela de magnitude 3 emite uma intensidade luminosa 100 vezes maior que uma estrela de magnitude 5. Estou certa?

-Certíssima. Vejo que você entendeu alguns usos das escalas logarítmicas. Existem outras aplicações que estão fora do objetivo desta nossa conversa.

-Vô, para finalizar a nossa conversa, como se calcula o logaritmo de 3,75 x 105 ?

-Você sabe que o logaritmo de um produto é igual à soma dos logaritmos dos fatores, logo,
log (3,75 x 105) = log 3,75 + log 105 = log 3,75 + 5
Para calcular log 3,75 usamos uma calculadora científica digitando 3,75 pressionando a tecla  [log] e finalmente pressionando a tecla [=].
log (3,75 x 105) = log 3,75 + 5 = 0,57 + 5 = 5,57

-Ótimo vô, sabia que eu podia contar com você para ampliar os meus conhecimentos de matemática em relação aos usos dos logaritmos, obrigadão.

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