By Lucien Silvano Alhanati
Escalas logarítmicas
-Vô, tenho lido sobre terremotos cuja magnitude é expressa por um valor na escala Richter. O que é esta escala Richter?
-A escala Richter é uma escala
logarítmica usada para expressar a magnitude dos terremotos.
Para entender esta escala vamos inicialmente recordar o conceito de logaritmo.
Considere a igualdade >>> bx
= a. Nesta igualdade dizemos que x é o logaritmo de a na base b e
representamos desta maneira >>> x = logb
a.
-O que pode ser afirmado sobre a e b? Quais são as bases b mais usadas?
-A base b do logaritmo é sempre um número
positivo e diferente de 1 e o número a é sempre positivo.
As bases mais usadas são: 10
e e (número irracional de valor
aproximado 2,7182....).
Os logaritmos de base 10 são denominados de logaritmos decimais.
Os logaritmos de base e são denominados de logaritmos naturais ou
neperianos.
Base do sistema de logaritmos | Denominação | Representação |
10 | decimal | x = log a |
e | neperiano | x = L a |
-Quando são usadas as escalas logarítmicas?
-As escalas logarítmicas são usadas em
várias situações diferentes.
Vamos nos restringir aos logaritmos decimais em apenas duas situações
distintas:
quando as grandezas medidas têm uma amplitude de valores muito grande.
quando são relacionadas sensações com as excitações.
-A escala Richter esta enquadrada em qual situação?
-A intensidade de um terremoto pode ser medida pela sua potência ou pela energia desenvolvida. Nos dois casos os valores são muito amplos e elevados, com por exemplo:
o terremoto em São Francisco na Califórnia em 1906 liberou uma energia de cerca de 20 trilhões de kWh ou seja 20.000.000.000.000 kWh ou ainda 2 x 1013 kWh
o terremoto que arrasou Lisboa em 1755 liberou uma energia calculada em 350 trilhões de kWh ou seja 350.000.000.000.000 kWh ou ainda 3,5 x 1014 kWh
Na escala Richter a magnitude M de um terremoto é igual ao logaritmo decimal da razão entre a sua intensidade física I a intensidade física Io de um terremoto tomado como padrão >>> M = log (I / Io)
-Veja se estou certa. Um terremoto de
magnitude 5 é aquele onde 5 = log(I / Io) >>> I / Io
= 105 ou seja cuja intensidade I = 105 Io ou
seja cuja intensidade é 100.000 vezes maior que a do terremoto padrão.
Então na escala Richter enquanto a magnitude varia de uma unidade a intensidade
do terremoto varia de 10 vezes.
-Certíssima. Agora você percebe que na
escala Richter podemos lidar com grandes valores de uma maneira bastante
amigável.
Os terremotos mais intensos são de magnitude aproximadamente 9 na escala
Richter isto é estes terremotos são 109 ( 1 bilhão ) vezes mais
intensos que o terremoto padrão.
-Um outro exemplo do uso da escala logarítmica para representar grandezas com uma amplitude de valores muito grande é o pH, conceito criado pelo químico dinamarquês SØrensen para representar a concentração do íon hidrogênio [H+] objetivando medir a acidez de uma solução usada na fabricação de cerveja.
-Qual é a amplitude dos valores
possíveis da concentração do íon hidrogênio?
Como o pH representa esta concentração?
-A [H+] pode variar desde 100
mol / L até 10-14 mol / L.
Denomina-se de pH ao logaritmo decimal do inverso da [H+]
>>> pH = log ( 1 / [H+] )
-Veja se entendi, quando [H+] = 10-5 mol / L >>> pH = log (1 / 10-5) >>> pH = - log 10-5 >>> pH = 5
-Vô, você falou que as escalas logarítmicas são usadas também quando relacionamos sensações com com as excitações correspondentes, como é isto?
-Em 1850 dois cientistas alemães, Ernst
Heinrich Weber e Gustav Theodor Fechner, enunciaram uma lei fisiológica, hoje
denominada de lei de Weber-Fechner que afirma que as sensações S
são proporcionais K ao logaritmo das
excitações E que as produzem
>>> S = K.log E., ou seja
enquanto as excitações crescem em progressão geométrica as sensações
crescem em progressão aritmética.
Esta lei se aplica à todos os sentidos.
-Você poderia citar alguns exemplos do uso da lei de Weber-Flechner?
-Aplicada à audição. A grandeza denominada nível sonoro b, relativa à sensação, é definida como sendo igual ao logaritmo decimal da razão entre a intensidade sonora I causadora da sensação e a intensidade sonora Io correspondente ao limiar da audição >>> b = log (I / Io).
-O que é o limiar da audição?
-É a menor potência sonora audível.
O limiar da audição vale Io =
10-12 W / m2 .
-Como é expresso o nível sonoro?
-O nível sonoro é expresso em bel (B).
Por exemplo um som de potência I = 10-4 W / m2
corresponde a um nível sonoro
b = log (10-4 / 10-12) >>> b
= log 108 >>> b = 8 B.
É usual representar o nível sonoro em decibel (dB). No exemplo o nível sonoro
é b = 80 dB.
-Eu sei por experiência que o som
quando muito forte produz dor.
Qual é a potência a partir da qual a sensação sonora é de dor?
-Esta potência é denominada de limiar da dor e vale I = 1 W / m2 .
-Então a sensação sonora ocorre até
uma intensidade de 1 W / m2 e a partir deste valor a sensação é de
dor.
A tabela representa o que você me explicou.
Intensidade da vibração | 10-12 W / m2 limiar da audição |
sensação sonora | 1W / m2 limiar da dor |
sensação de dor |
nível sonoro em bel | 0 | menor que 12 B | 12 B | maior que 12 B |
nível sonoro em decibel | 0 | menor que 120 dB | 120 dB | maior que 120 dB |
-A escala logarítmica é usada também para relacionar a sensação luminosa
do brilho das estrelas com a intensidade luminosa emitida por ela. esta
relação obedece à lei de Weber-Flechner.
A grandeza denominada magnitude M de uma
estrela relativa à sensação, é definida como sendo igual ao logaritmo decimal da razão entre a
intensidade luminosa Io
emitida por uma estrela tomada como padrão e a intensidade luminosa
I causadora da
sensação luminosa >>> M
= log ( Io / I ).
-Isto significa que uma estrela de magnitude 3 emite uma intensidade luminosa 100 vezes maior que uma estrela de magnitude 5. Estou certa?
-Certíssima. Vejo que você entendeu alguns usos das escalas logarítmicas. Existem outras aplicações que estão fora do objetivo desta nossa conversa.
-Vô, para finalizar a nossa conversa, como se calcula o logaritmo de 3,75 x 105 ?
-Você sabe que o logaritmo de um produto é igual à soma dos
logaritmos dos fatores, logo,
log (3,75 x 105) = log 3,75 + log 105 = log 3,75 + 5
Para calcular log 3,75 usamos uma calculadora científica digitando 3,75
pressionando a tecla [log] e
finalmente pressionando a tecla [=].
log (3,75 x 105) = log 3,75 + 5 = 0,57 + 5 = 5,57
-Ótimo vô, sabia que eu podia contar com você para ampliar os meus conhecimentos de matemática em relação aos usos dos logaritmos, obrigadão.