By Lucien Silvano Alhanati

Juros

-Vô, quando vejo anúncios na televisão de taxas de juros de empréstimos bancários tenho enormes dúvidas relativas aos juros mensais e anuais. Eu sempre achei que os juros anuais fossem 12 vezes os mensais e isto não é o que ocorre. Os juros anuais são sempre muito maiores que 12 vezes os mensais. Não entendo!

-Vamos primeiro entender o conceito de juros. 
Denominamos de juros a uma remuneração de um capital durante um certo período de tempo.
A taxa de juros é expressa como o porcentual do capital.

-Tudo bem. Qual é então o motivo dos juros anuais, isto é, em 12 meses não serem iguais à 12 vezes os juros mensais?

-Vamos com calma. Os juros estão ligados ao tempo e dependendo desta relação existem várias maneiras de calcular os juros. 

As principais modalidades de cálculo de juros estão mostradas na tabela.

Modalidade 1.
    Cálculo dos juros com taxa mensal j, sobre um capital fixo C, por um período de n meses.

Exemplo:

Modalidade 2.
    Cálculo dos juros com taxa anual j, sobre um capital fixo C, por um período de n (fração) anos.

Exemplo:

-Na modalidade 3 você afirma que os juros são capitalizados mensalmente. Não sei o que é isto.

-Quando dizemos que os juros são capitalizados mensalmente queremos dizer que ao fim de cada mês os juros são incorporados ao capital, surgindo um novo valor para o capital sobre o qual serão calculados os juros do mês seguinte.

Modalidade 3.
    Cálculo do capital final considerando uma taxa mensal de juros j, sobre um capital variável pela capitalização mensal dos juros com um valor inicial C, por um período de n meses.

Cálculo da taxa dos juros em n meses em função da taxa mensal j. 

Exemplo:

Considere um capital inicial de 2.000,00 aplicado num fundo de investimentos que rende uma taxa de juros mensal de 2%.
Ao fim do primeiro mês o capital teria rendido 2.000,00 x 0,02 = 40,00 reais.
No segundo mês o capital seria de 2.000,00 + 40,00 = 2.040,00, que renderia neste período 
2.040,00 x 0,02 = 40,80 reais
No terceiro mês o capital seria de 2.040,00 + 40,80 = 2.080,80 e assim sucessivamente como mostra a tabela.

A tabela mostra que ao fim de 12 meses os 2.000,00 reais teriam rendido 2.536,48 - 2.000,00 = 536,48 reais correspondentes a uma taxa anual de juros de 536,48 / 2.000,00 = 0,2682 = 26,82% superior a 12 vezes 2% ou seja 24%.

-Quer dizer que a taxa anual é sempre maior que 12 vezes a taxa mensal devido a capitalização mensal dos juros. 

Outro exemplo:

Num empréstimo como nos cartões de crédito 

-Vô, como foi realizado o cálculo de 1,07¹² ?

-Usando uma calculadora científica digitando 1,07 pressionando a tecla  [x^y], em seguida digitando 12 e finalmente pressionando a tecla [=].

    Modalidade 4.
    Cálculo do pagamento mensal fixo p numa compra parcelada, conhecido o custo para pagamento a vista C, o número de parcelas n e a taxa mensal de juros  j .

    Cada pagamento mensal p é composto de duas parcelas, os juros do capital financiado e a amortização da dívida.

    E assim sucessivamente.
Como as parcelas são fixas e os juros são decrescentes as amortizações a₁, a₂, a₃ são crescentes.

    Para calcular as amortizações vamos igualar as parcelas

    A sucessão das amortizações é uma progressão geométrica cujo primeiro termo é a₁ e razão 1 + j

    Cálculo do custo C como soma de todas as amortizações
Para facilitar a representação vamos chamar 1 + j = x
C >>> C = a₁ + a₁x + a₁x² + .......+ a₁x^{n - 1} (1)
Multiplicando ambos os membros da igualdade (1) por x >>> 
Cx = a₁x + a₁x² + a₁x³ + .......+ a₁xⁿ (2)
Subtraindo igualdade (2) - igualdade (1) >>> 
Cx - C = a₁xⁿ  - a₁ >>> C(x - 1) = a₁(xⁿ  - 1) (3) >>> 
C(1 + j - 1) = a₁xⁿ  - a₁ >> Cj + a₁ = a₁xⁿ >>> p = a₁xⁿ (4)

    Cálculo da parcela p.
A igualdade (3) nos fornece a primeira amortização a₁ , que levada a igualdade (4) nos fornece a parcela mensal p.

    -Ufa! Esta foi pesada. Vou exemplificar para ver se entendi.
Vou calcular o valor da parcela mensal para pagar um produto que custa 2.500,00 reais em 10 pagamentos mensais iguais com juros de 5% ao mês.

Este cálculo é simples, porem é muito trabalhoso, não haveria uma maneira mais rápida de se obter a parcela mensal ainda que seja um valor aproximado?

    -Há sim, basta levar em consideração que os juros são cobrados sobre um capital decrescente, desde o valor inicial até zero. 
Quando usamos como capital fixo a metade do capital inicial, seria um capital médio, e a taxa de juros sobre este capital fixo, o total dos juros pagos seria pouco diferente do real. Desta forma teríamos um calculo aproximado, porem muito mais rápido.

    -Vou experimentar no meu exemplo. Vou calcular novamente o valor da parcela mensal para pagar um produto que custa 2.500,00 reais em 10 pagamentos mensais iguais com juros de 5% ao mês. Será considerada um capital fixo médio igual a metade do capital financiado ou seja 1.250,00 reais.

-Ótimo vô, sabia que eu podia contar com você para tirar as minhas dúvidas conceituais e aprender a calcular juros, obrigadão.

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