Centro de Massa

Como determinar a posição do Centro de Massa de uma chapa de material homogêneo cujos limites podem ser definidos matematicamente ? LDT040601

Como determinar a posição do Centro de Massa de uma chapa com a forma de um triângulo retângulo de material homogêneo ? LDT040602

Exemplo:
Vamos calcular as coordenadas do CM da chapa triangular de material homogêneo e de contorno vermelho mostrada nas figuras.

A equação da reta hipotenusa é
y/6 + x/3 =1 ou y = 6 - 2x
O denominador das frações, que fornecem as coordenadas do CM, integral de ds é a área dos triângulos, isto é, S = (3x6)/2 >>> S = 9cm² .

Cálculo da ordenada do CM
Vamos dividir o triângulo em faixas horizontais de altura dy cuja área é ds = x.dy (figura 1). Obtemos o valor de x na equação da reta hipotenusa x = (6 - y) / 2 .
A ordenada do CM será:

Cálculo da abscissa do CM
Vamos dividir o triângulo em faixas verticais de largura dx cuja área é ds = y.dx (figura 2). Obtemos o valor de y na equação da reta hipotenusa y = 6 - 2x.
A abscissa do CM será:

Cálculo da ordenada do Centro de Massa de uma chapa triangular de material homogêneo ? LDT040603

Considere o triângulo da figura e uma faixa amarela paralela ao eixo dos X.
O centro de massa da faixa está no centro da faixa e portanto sobre a mediana.

O centro de massa do triângulo de ordenada y será calculado por:

O centro de massa do triângulo também denominado de baricentro está situado no ponto de encontro das medianas a uma distância de 2 / 3 do comprimento da mediana a partir do vértice e contada sobre a mediana, conforme mostra a figura.

Cálculo da posição do Centro de Massa de uma chapa trapezoidal isósceles de material homogêneo ? LDT040604

Considere o trapézio isósceles da figura de bases B e b e altura h.
Vamos traçar uma paralela ao lado inclinado da direita a partir da extremidade esquerda da base b.
Vamos traçar uma faixa de altura dy paralela às bases e a uma distância y da base B, seja x o comprimento da faixa e dS = x dy a sua área.

Como determinar a posição do Centro de Massa de um sólido de material homogêneo cujos limites podem ser definidos matematicamente ? LDT040605

Como determinar a posição do Centro de Massa de um cone revolução de material homogêneo ? LDT040606

Vamos determinar a posição do CM de um sólido de material homogêneo com a forma de um cone de revolução de altura h e raio da base R, mostrado na figura.

Como o sólido possui um eixo de simetria, o seu CM estará sobre o eixo, logo, é necessário apenas calcular a ordenada do CM, cujo valor é:

Inicialmente vamos calcular o raio r da faixa em função de y.
Vamos considerar os triângulos retângulos semelhantes de base r e R mostrados na figura abaixo, retirada da figura anterior.

Como os triângulos são semelhantes os seus catetos são proporcionais:

Vamos calcular o quadrado do raio que será necessário no cálculo do volume da faixa:

Vamos calcular a ordenada do CM do cone sabendo da geometria que o volume V do cone é igual a

V = (pR².h)/3

A faixa será considerada como um cilindro de raio da base r, altura dy e o seu volume dv é igual a

dv = pr².dy

Cálculo da ordenada do CM