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By Lucien Silvano Alhanati

Matemática

Limites, Derivadas e Integrais LDT

Taxa de Variação LDT02

Interpretação gráfica da T V LDT0203

Qual é a interpretação gráfica da taxa de variação ? LDT020301

Considere uma função y = f(x) onde um acréscimo Dx acarreta um outro acréscimo Dy.
Vamos traçar a secante que passa pelos pontos A e B.
Verificamos que as variações
Dx e Dy correspondem a catetos de um triângulo retângulo ABC onde a é um ângulo agudo. Sabemos que:
logo a
TV é avaliada pela tg a, isto é pelo coeficiente angular da secante à curva nos pontos A e B.

O que é taxa de variação média ? LDT020302

É a taxa de variação que definimos nas respostas anteriores em LDT0202.
Exemplo 1:
Seja a função y = 2x2 + 3. Vamos calcular a taxa de variação média de y em relação a x, quando x varia de 1 para 3.
valores iniciais valores finais acréscimos TV
x y x y Dx Dy Dy / Dx
1 2x12+3=5 3 2x32+3=21 2 16 16 / 2 = 8
Exemplo 2:
Um reservatório de formato irregular armazena água. O volume de água armazenado varia em função da cota do nível a água segundo a função V = 3h2 + 5 onde h é a cota em metros e V é o volume em 103 m3.
Vamos determinar a TV média do volume armazenado em relação à cota quando esta varia de 4 m para 9 m.
valores iniciais valores finais acréscimos TV
h V h V Dh DV DV / Dh
4 3x42+5=53 9 3x92+5=248 5 195 195 / 5 = 39
Significado do resultado encontrado no exemplo 2:
Uma TV de 39x103 m3 / m, significa que entre as cotas 4 m e 9 m ocorre um armazenamento médio de 39x103 m3 para uma elevação de cota de 1 m.
Significa também, por exemplo, que neste intervalo de cotas uma redução do nível da água de 10 cm (0,1 m) corresponde a uma redução no volume armazenado de 3,9x103 m3 .

O que é uma variação infinitesimal ? LDT020303

É uma variação tão pequena quanto você queira, isto é um valor que varia e se aproxima de zero.

Como representar uma variação infinitesimal ? LDT020304

A variação infinitesimal de uma grandeza x é representada por dx

O que é taxa de variação instantânea ? LDT020305

É a taxa de variação definida para valores infinitesimais.
Consideremos uma função y = f(x) onde uma variação Dx acarreta um variação Dy. Quando a variação Dx torna-se infinitesimal dx, a variação Dy também assume valores infinitesimais dy.
A taxa de variação instantânea é TV = dy /dx.
Exemplo 1:
Seja a função
y = 2x2 + 3. Vamos calcular a taxa de variação quando x = 1, dando a x um acréscimo Dx = h
valores iniciais valores finais acréscimos TV
x y x y Dx Dy Dy / Dx
1 2x12+3=5 1 + h 2x(1+h)2+3
5+4h+2h2
h 5+4h+2h2-5
4h+2h2
4h+2h2/h
4+2h
Para calcularmos a TV instantânea, isto é, para x=1 faremos o acréscimo h tender a zero e assim a
TV = dy / dx >>> TV = 4 + 2x0 >>> TV = 4
Exemplo 2:
Um reservatório de formato irregular armazena água. O volume de água armazenado varia em função da cota do nível a água segundo a função V = 3c2 + 5 onde c é a cota em metros e V é o volume em 103 m3.
Vamos determinar a TV do volume armazenado em relação à cota quando o valor da cota é 10 m. Vamos dar à cota um acréscimo h
valores iniciais valores finais acréscimos TV
c V c V Dc DV DV / Dh
10 3.102+5=305 10+h 3.(10+h)2+5
305+60h+h2
h 60h+h2 (60h+h2)/h
60+h
Para calcularmos a TV instantânea, isto é, para c=10 faremos o acréscimo h tender a zero e assim a
TV = dy / dx >>> TV = 60 + 0 >>> TV = 60x103m3/m, significando que na cota 10m ocorre um aumento de armazenamento de 60x103m3 para a elevação da cota de 1m, ou ainda que na cota de 10m a área da superfície líquida é de 60.000 m2.

Qual é a interpretação gráfica da taxa de variação instantânea ? LDT020306

Considere uma função onde um acréscimo Dx corresponde a um acréscimo Dy. A TV média é representada pelo coeficiente angular da secante AB.
A TV instantânea é a TV média quando o acréscimo de x torna-se infinitesimal dx, isto é quando o ponto B se desloca para A e a secante gira em torno de A tendendo para a tangente.
O coeficiente angular da tangente >> tg b corresponde a TV instantânea ou TV >> tg b
Conseqüentemente podemos afirmar que:
A TV instantânea pode ser avaliada pela inclinação da tangente à curva do gráfico da função.

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