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By Lucien Silvano Alhanati

  Matemática

Vetores VET

Operações especiais VET04

LEGENDA:
representação do vetor x -- x (em negrito) 
 representação do
módulo do vetor x -- x (normal)

Operadores vetoriais VET0404

  O que é um campo ? VET040401

Em vários processos físicos existem grandezas que variam de acordo com a posição e o tempo e que podem ser representadas por uma função f(x, y, z, t) que é denominada campo.
Exemplo a pressão atmosférica que depende da posição geográfica da altitude de do tempo (hora, dia).

O que é um campo estacionário ? VET040402

Um campo é estacionário quando ele não depende do tempo >>> f(x, y, z)

O que é um campo variável ? VET040403

Um campo é variável quando ele depende do tempo >>> f(x, y, z, t)

 O que é um campo escalar ? VET040404

Um campo é escalar quando a grandeza característica do campo é escalar.
Exemplo a temperatura do ar.

O que é um campo vetorial ? VET040405

Um campo é vetorial quando a grandeza característica do campo é vetorial.
Exemplo o campo magnético terrestre.

O que é o operador nabla ? VET040406

É um operador vetorial cuja representação e definição são mostradas abaixo.

O operador não tem significado físico ou geométrico. O significado só ocorre quando ele é aplicado a uma função.

 O que é o gradiente de um campo escalar ? VET040407

O gradiente de um campo escalar é um vetor que representa em direção, sentido e módulo a máxima taxa de variação  de um campo escalar.

Como é calculado o gradiente de um campo escalar ? VET040408

O gradiente de um campo escalar é obtido aplicando-se o operador nabla a esta função

Exemplo:
Considere um gás perfeito e um campo escalar de suas temperaturas representado num diagrama pressão x volume mostrado na figura.

Exemplo numérico:

O que é a derivada direcional de um campo escalar ? VET040409

Derivada direcional de um campo escalar numa determinada direção representa a taxa de variação da grandeza característica do campo nesta direção.

Como é calculada a derivada direcional de um campo escalar ? VET040410

A derivada direcional de uma função numa determinada direção é a projeção nesta direção do vetor gradiente da função.

Exemplo numérico:
Consideremos o exemplo visto em VET040408

É importante observar que o valor da derivada direcional é sempre inferior ao módulo do gradiente que representa a máxima taxa de variação da grandeza.

 O que é o divergente de um campo vetorial ?  VET040411

Divergente de um campo vetorial é um escalar que representa o fluxo do vetor (veja em VET0402) característico do campo por unidade de volume.

Como é calculado o divergente de um campo vetorial ? VET040412

O divergente de um campo vetorial é obtido aplicando-se o operador nabla a esta função, ou seja multiplicando-se escalarmente o operador nabla pela função vetorial.

Vamos mostrar que o divergente é o fluxo do vetor por unidade de volume.
Consideremos um paralelepípedo elementar de lados dx, dy, e dz situado no campo vetorial.

O que é o rotacional de um campo vetorial ? VET040413

Rotacional de um campo vetorial é um vetor que representa uma rotação ou seja um momento angular.

Como é calculado o rotacional de um campo vetorial ? VET040414

O rotacional de um campo vetorial é obtido aplicando-se o operador nabla a esta função, ou seja multiplicando-se vetorialmente o operador nabla pela função vetorial. (veja em VET0302)

Qual é o Teorema da Divergência (Teorema de Gauss) ? VET040415

Consideremos uma superfície fechada S, limitando um volume V, contida num campo vetorial F.

Exemplo de aplicação do Teorema da Divergência na geometria. VET040416

Consideremos o campo vetorial constituído pelos vetores posição r.

Qual é a relação entre campos escalares e campos vetoriais ? VET040417

O gradiente de um campo escalar é um campo vetorial derivado de um campo escalar.

f (x, y, z) >>> campo escalar
grad f >>> campo vetorial derivado

Exemplo: 
O vetor intensidade de campo elétrico é proporcional ao gradiente do potencial elétrico (campo escalar), sendo portanto uma campo vetorial derivado de um campo escalar.
Considere o campo elétrico produzido por uma carga elétrica puntiforme. 
O vetor intensidade de campo elétrico é proporcional ao potencial elétrico conforme mostramos à seguir.

O que se entende por linha de força de um campo vetorial ? VET040418

São linhas orientadas tais que o vetor característico do campo é sempre tangente à linha e orientado no sentido da linha.

As linhas de força podem ser abertas ou fechadas.
Quando as linhas são abertas o seu início e o término dependem do tipo de campo.
Alguns exemplos:

tipo de campo início término
elétrico carga positiva carga negativa
calor fonte quente fonte fria
velocidade de escoamento fonte sumidouro

As linhas de força fechadas evidentemente não possuem início ou término.
Alguns exemplos:

tipo de campo
magnético
velocidades no movimento de rotação

 

Qual é o significado do sinal do fluxo de um vetor numa superfície fechada ? VET040419

Numa superfície fechada os unitários da normal são orientados para fora da superfície.
Conseqüentemente os fluxos serão positivos quando as linhas de força saem da superfície e negativos quando entram.

Qual é o significado do sinal da divergênciaVET040420

O Teorema da Divergência nos mostra que o seu sinal é igual ao sinal do fluxo na superfície fechada.

Divergência positiva >>> existem linhas de força com início no interior da superfície.
Alguns exemplos:

tipo de campo existem no interior da superfície
elétrico cargas positivas
calor fontes quentes
velocidade de escoamento  fontes

Divergência negativa >>> existem linhas de força com término no interior da superfície.
Alguns exemplos:

tipo de campo existem no interior da superfície
elétrico cargas negativas
calor fontes frias
velocidade de escoamento  sumidouros

 

 O que é um tubo de força ? VET040421

Considere um contorno fechado num campo vetorial.
Denominamos de tubo de força ao conjunto de linhas de força que passam pelos pontos do contorno.

Qual é a equação de continuidade VET040422

Considere um campo vetorial F e a superfície fechada formada por um tubo de força e pelas superfícies S1 e S2 .

O divergente de F é nulo nesta superfície, uma vez que, não existem linhas de força com início ou fim no seu interior.
Denominamos de: 

equação de continuidade 
div F = 0

Pelo Teorema da Divergência se o divergente de F é nulo a soma dos fluxos na superfície é nula.
O fluxo na superfície fechada é igual à soma do fluxo nas superfícies lateral, S1 e S2.

O que é um campo vetorial solenoidal ? VET040423

É o campo vetorial onde todas as linhas de força são fechadas.
No campo solenoidal o divergente é nulo.

div F =0

 


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