Divisores e múltiplos

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By Lucien Silvano Alhanati

_{_Matemática}

_{_{Números NUM}}

Divisores e múltiplos NUM02

_{_{Divisores e
múltiplos}}_{_NUM0201}

O que é múltiplo de um número natural ? NUM020101

Diz-se que um número natural A é múltiplo de outro natural B, quando existe um número natural k tal que:

A = k x B

Exemplos:
15 é múltiplo de 5, pois 15=3×5.
24 é múltiplo de 4, pois 24=6×4.

Observações:

Se A = k x B A é múltipo de B mas também é múltiplo de k.
Exemplo: 28 = 4 x 7 >>> 28 é múltiplo de 4 e de 7.
Um número é sempre múltiplo dele mesmo A = 1 x A
O zero é múltiplo de todos os números naturais 0 = 0 x B onde B é um número natural qualquer: 0 = 0 x 2, 0 = 0 x 6 etc

O que é divisor de um número natural ? NUM020102

A definição de divisor está relacionada com a de múltiplo. Um número natural B é divisor do número natural A, se A é múltiplo de B

A = k x B se A é múltiplo de B, então B é divisor de A

Observações:

Se A = k x B A é múltipo de B então B e k são divisores de A.
Exemplo: 28 = 4 x 7 >>> 4 e 7 são divisores de 28.
Um número é sempre divisor dele mesmo A = 1 x A
O número 1 é divisor de todos os números naturais A = 1 x A
O zero é múltiplo de todos os números naturais, mas não é divisor de nenhum número natural uma vez que a divisão por zero é impossível.
Exemplo: 6 / 3 = 2 uma vez que 2 multiplicado por 3 é igual a 6
6 / 0 = não existe uma vez que não há nenhum número que multiplicado por 0 seja igual a 6

O que é um número primo ? NUM020103

Um número primo é um número natural com exatamente dois divisores naturais distintos.
Exemplo: 7 = 1 x 7 é primo tem apenas dois divisores 1 e 7
15 = 1 x 15 ou 15 = 3 x 5 não é primo tem 4 divisores 1; 3; 5 e 15

Observação:

O número 1 não é primo pois tem apenas um divisor 1 = 1 x 1
Todo número natural pode ser escrito como o produto de números primos, de forma única.

O que se entende por Crivo de Eratóstenes ? NUM020104

É um processo para obter números primos menores do que um determinado número natural n.
Devemos construir uma tabela contendo os primeiros n números naturais. Para determinar os números primos até n nesta tabela, basta realizar os procedimentos abaixo:

Marcamos o número 2, que é o primeiro número primo e eliminamos todos os múltiplos de 2 que encontrarmos na tabela.
Marcamos o número 3 e eliminamos todos os múltiplos de 3 que encontrarmos na tabela.
Determinamos o próximo número primo, que será o próximo número não marcado da tabela e eliminamos todos os múltiplos desse número primo que encontrarmos na tabela.
Continuamos o processo, sempre voltando ao passo anterior, com o próximo número primo.
Os números que não foram eliminados são os números primos.

Exemplo: vamos determinar os números primos até 40
Na tabela eliminamos os múltiplos dos números primos 2; 3; 5; 7 etc
São números primos os que sobraram marcados em amarelo

Como decompor um número natural em seus fatores primos ? NUM020105

Para decompor um número natural em seus fatores primos usamos o algoritmo mostrado na figura.

Decomposto 90 em fatores primos temos: 90 = 2 x 3² x 5

O que se entende por Mínimo Múltiplo Comum de um conjunto de números naturais ? NUM020106

O MMC é, como o nome está dizendo, o menor múltiplo comum entre os números considerados.

Como calcular o MMC ? NUM020107

Decompomos os números em seus fatores primos.
O MMC será igual ao produto dos fatores comuns e não comuns elevados aos maiores expoentes.

Exemplo:
Cálculo do MMC entre 30 e 72.
30 = 2 x 3 x 5 e 72 = 2³ x 3² o MMC(30; 72) = 2³ x 3² x 5 = 360

O que se entende por Máximo Divisor Comum de um conjunto de números naturais ? NUM020108

O MDC é, como o nome está dizendo, o maior divisor comum entre os números considerados.

Como calcular o MDC ? NUM020109

Decompomos os números em seus fatores primos.
O MDC será igual ao produto dos fatores comuns elevados aos menores expoentes.

Exemplo:
Cálculo do MDC entre 30 e 72.
30 = 2 x 3 x 5 e 72 = 2³ x 3² o MDC(30; 72) = 2 x 3 = 6

Qual é a relação entre o MMC e o MDC de um conjunto de números naturais ? NUM020110

O MDC(a,b) multiplicado pelo MMC(a,b) é igual ao produto de a por b.

MDC(a,b) x MMC(a,b) = a x b

Exemplo:
MDC(30, 72) x MMC(30, 72) = 6 x 360 = 2160 = 30 x 72

O que se entende por números primos entre si ? NUM020111

Dois números são primos entre si quando só admitem como divisor comum a unidade.

Exemplo:
72 = 2³ x 3² 35 = 5 x 7 como não possuem divisores comuns diferentes da unidade então são primos entre si.

Como calcular o número de divisores de um número natural ? NUM020112

Para calcular o número de divisores de um número natural procedemos da seguinte maneira:

decompomos o número em seus fatores primos.
o número de divisores será igual ao produto dos expoentes dos fatores primos acrescidos de uma unidade.

Exemplo:
72 = 2³ x 3² números de divisores = (3 + 1) x (2 + 1) = 12

Como determinar todos os divisores de um número natural ? NUM020113

Para determinar todos os divisores de um número natural procedemos da seguinte maneira:

decompomos o número em seus fatores primos usando o algoritmo mostrado em NUM020105
traçamos uma linha vertical à direta e escrevemos 1 à direita e no topo da linha, trata-se do primeiro divisor
repetimos o primeiro fator primo abaixo da unidade, temos o segundo divisor.
multiplicamos em sequência todos os divisores obtidos pelo fator primo seguinte, escrevendo os resultados que são novos divisores sem repetir os já obtidos.
terminado o último fator primo, os divisores estarão todos escritos

Exemplo:
Determinação dos 12 divisores de 72

números