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By Lucien Silvano Alhanati

Matemática

Limites, Derivadas e Integrais LDT

Integrais LDT04

Cálculo de áreas LDT0404

Como calcular a área compreendida entre a curva y = f (x) e o eixo dos X ? LDT040401

Vamos calcular a área A compreendida entre a curva
y = f (x) e o eixo dos X, desde x = a até x = b.

Sabemos que a área A é calculada pela integral

Exemplo 1:
Vamos calcular a área mostrada na figura.

Exemplo 2:
Vamos calcular o trabalho realizado por um gás que evolui isotermicamente desde um estado 1 (volume V1 e pressão p1) até um estado 2 (volume V2 e pressão p2) conforme mostra a figura.

A Física nos informa que o trabalho W realizado pelo gás é avaliado pela área amarela da figura e assim sendo será calculado pela integral:

Exemplo 3
Vamos calcular a área limitada por uma circunferência de raio R mostrada na figura.

O triângulo retângulo de hipotenusa R e catetos x e y nos permite escrever que y2 + x2 = R2
A área A limitada pela circunferência, igual a 4 vezes a área amarela, é calculada pela integral

A integral foi calculada pelo método da substituição trigonométrica, veja em LDT040206

Exemplo 4
Vamos calcular a área limitada por uma elipse de semi-eixos a e b mostrada na figura.

A área A limitada pela elipse, igual a 4 vezes a área amarela, é calculada pela integral

A integral foi calculada pelo método da substituição trigonométrica, veja em LDT040206

Como calcular a área de superfície plana compreendida entre duas curvas ? LDT040402

Considere as funções y = f (x) e y = g (x) correspondentes às curvas mostradas na figura. 

Os pontos comuns às duas curvas possuem abscissas a e b.
A área A (em amarelo) entre as duas curvas é a área entre y = g (x) e o eixo dos X subtraída da área entre
y = f (x) e o eixo dos X, ou seja

Exemplo:
Vamos determinar a área A entre as curvas y = 0,25x2 e y = x, mostradas na figura.

Os pontos de interseção ocorrem quando

x = 0,25x2 >>> 0,25x2 - x = 0
ou seja quando x = 0 e x = 4

A área A será

Como calcular a área de superfícies de revolução ? LDT040403

Vamos calcular a área da superfícies gerada pelo arco L da curva y = f (x), compreendido entre x = a e x = b ao girar em torno do eixo dos X.

Vamos considerar um elemento de arco dL distante y do eixo dos X. O elemento de arco dL ao girar em torno do eixo dos X irá gerar uma superfície retangular de lados dL e 2py e cuja área será dA = 2py.dL
Sabemos que

A área A será calculada pela integral

Exemplo
Vamos calcular a área da superfície de um parabolóide de revolução gerado por y2 = x girando em torno do eixo dos X, desde x = 0 até x = 2.

Derivando ambos os membros da igualdade y2 = x em relação a x teremos 2yy' = 1 >>> y' = 1 / 2y.
A área A será calculada pela integral:

A experiência nos ensinou que para realizar a integração deveremos fazer uma mudança de variável como
z = 1 + 4x >>> dz = 4dx
Esta mudança de variável acarreta uma alteração nos limites de integração como
x = 0 >>> z = 1 e x = 2 >>> z = 9
A integral assume o novo aspecto

Como calcular a área da superfície esférica ? LDT040404

A superfície esférica é gerada por uma semi-circunferência girando em torno de um diâmetro.
Considere a semi-circunferência de raio R mostrada na figura, Considere ainda o ponto P (x;y) que pertence à semi-circunferência.

O triângulo retângulo amarelo nos permite escrever que        

y2 + x2 = R2

Derivando ambos os membros da igualdade em relação a x obtemos

 2yy' + 2x = 0 >>> y' = - x / y

A área A da esfera será calculada pela integral

Como calcular a área da superfície lateral de um cone de altura H e raio da base R ? LDT040405

A superfície lateral de um cone é gerada por um segmento de reta girando em torno de um eixo.
Considere o segmento de reta AB mostrado na figura. Considere ainda o ponto P (x;y) que pertence ao segmento de reta AB.

Os triângulos retângulos semelhantes da figura nos permitem escrever que y / x = R / H >>> y = (R / H).x
Derivando teremos y' = R / H.
A área A da superfície cônica será calculada pela integral

Como calcular a área da calota esférica ? LDT040406

Considere a calota esférica mostrada na figura abaixo

A calota será gerada pelo arco AB da circunferência de raio R mostrado na figura, girando em torno do eixo dos X

O triângulo retângulo amarelo nos permite escrever que        

y2 + x2 = R2

Derivando ambos os membros da igualdade em relação a x obtemos

  2yy' + 2x = 0 >>> y' = - x / y

A área A da calota será calculada pela integral

 


Limites, Derivadas e Integrais