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By Lucien Silvano Alhanati

Matemática

Limites, Derivadas e Integrais LDT

Integrais LDT04

Cálculo de Integrais LDT0402

Quadro resumo das integrais imediatas LDT040201

Cálculo da integral de uma soma de funções LDT040202

A integral de uma soma de funções é igual a soma das integrais das parcelas

Exemplo:
Considere a integral

Cálculo da integral do produto de uma constante por uma função LDT040203

A integral do produto de uma constante por uma função é igual ao produto da constante pela integral da função.

Exemplo:
Considere a integral

O que é o método de integração por substituição de variáveis ? LDT040204

O método consiste em transformar uma integral não imediata em uma integral imediata realizando uma substituição de variáveis.

Exemplo 1:

Exemplo 2:

Exemplo 3:

Exemplo 4:

Exemplo 5:

Exemplo 6:

Exemplo 7:

 

O que é o método de integração por partes ? LDT040205

O método consiste em transformar a integral não imediata em um produto de funções conhecidas de onde subtraímos uma integral imediata.

Consideremos duas funções f (x) e g (x). Vamos derivar o produto das funções.

[f (x).g (x)]' = f '(x).g (x) + f (x).g '(x) > f (x).g '(x) = [f (x).g (x)]' - f '(x). g (x)

Integrando ambos os membros da igualdade teremos:

Exemplo 1:
Vamos calcular a integral

Exemplo 2:
Vamos calcular a integral

Exemplo 3:
Vamos calcular a integral

Quando deve ser usado o método de integração por partes ? LDT040206

O método de integração por partes é recomendado para os principais tipos que se seguem.

1 - Integrais do tipo

 

onde f(x) é um polinômio, usamos a integração por partes fazendo

u = f(x) Þ du = f´(x).dx
dv = cos(x)dx Þ v = sen(x)

ou

u = f(x) Þ du = f´(x).dx
dv = sen(x)dx Þ v = -cos(x)

Exemplo 1

Exemplo 2

2 - Integrais do tipo

onde f(x) é um polinômio, usamos a integração por partes fazendo

u = f(x) Þ du = f´(x).dx
dv = axdx Þ v =ax/loge(a)

Exemplo:

3 - Integrais do tipo

onde f(x) é um polinômio, usamos a integração por partes fazendo

u = logax Þ du = dx/xlogea
dv = f(x).dx Þ v =primitiva de f(x)

Exemplo:

4 - Integrais do tipo

 

usamos a integração por partes fazendo

Exemplo 1:

Exemplo 2:

O que é o método de integração por substituição trigonométrica ? LDT040207

Este método é usado quando aparecem expressões do tipo

O método consiste em introduzir uma variável auxiliar z por meio das identidades trigonométricas abaixo;

sen2x + cos2x = 1
sec2x - tg2x = 1

Exemplo 1:
Vamos calcular a integral:

Exemplo 2:
Vamos calcular a integral

Integrando por partes, veja no exemplo 3 de LDT040205 teremos

Tabela de integrais de potências e exponenciais LDT040208

Tabela de integrais trigonométricas LDT040209

Funções trigonométricas simples
Fórmulas de recorrência

Funções trigonométricas inversas

Representação  y = sen-1 x ou y = arc sen x

Aplicações das fórmulas de recorrência 

 

Tabela de integrais hiperbólicas LDT040210

Tabela de integrais racionais fracionarias LDT040211

Tabela de integrais irracionais LDT040212

Tabela de integrais irracionais fracionárias LDT040213

 


Limites, Derivadas e Integrais