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By Lucien Silvano Alhanati

Matemática

Geometria GEO

 

 Polígonos GEO08

Pentágono GEO0801

  Quais são as relações métricas entre o lado do pentágono regular e a diagonal ? GEO080101

Considere o pentágono regular ABCDE da figura.

Os lados do pentágono marcam sobre a circunferência arcos de 72o (360o / 5).
Os triângulos amarelo e azul são isósceles com ângulos de 72o nas bases. Para a recordar a relação entre arcos e ângulos veja GEO0204.
A diagonal AC e todas as demais estão divididas em dois segmentos L e a.
Como os referidos triângulos são semelhantes os seus lados são proporcionais L / a = (a + L) / L, consequentemente o lado L é o segmento áureo da diagonal a + L veja GEO0101 ou seja

a + L = 1,618 L

Qual é o valor do lado do pentágono regular em função do raio da circunferência circunscrita ? GEO080102

Consideremos um pentágono regular ABCDE de lado L inscrito numa circunferência de centro O e raio R.

Os triângulos retângulos em azul e amarelo de ângulos iguais (ver em GEO0204) são semelhantes e portanto possuem lados proporcionais.

Veja em GEO0101.
Substituindo (3) em (2) obtemos:

L = 1,175 R

Qual é o valor do apótema do pentágono regular em função do raio da circunferência circunscrita ? GEO080103

Consideremos um pentágono regular ABCDE de lado L inscrito numa circunferência de centro O e raio R.

Os triângulos retângulos em azul e amarelo de ângulos iguais (ver em GEO0204) são semelhantes e portanto possuem lados proporcionais. 
O apótema Ap será calculado como:

Ap = 0,809 R

Qual é o valor da área do pentágono regular em função do raio da circunferência circunscrita ? GEO080104

Consideremos um pentágono regular ABCDE de lado L inscrito numa circunferência de centro O e raio R.

A área do pentágono e igual a 5 vezes a área do triângulo OCD em amarelo.

S = 2,373 R2 


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