By Lucien Silvano Alhanati

Construção e interpretação de  
gráficos tipo linha.

    Imagem 

 

linha única
marcada por pontos
várias linhas
marcadas por pontos
linha única
contínua
várias linhas
contínuas

 

Objetivos

Construção

Exemplo:

Vamos considerar os valores da média diária de páginas acessadas do site da alfaconnection.

Mês JAN/09 FEV/09 MAR/09 ABR/09 MAI/09 JUN/09
Média diária de páginas acessadas 290 300 600 550 800 900

 

No eixo OY vamos marcar os valores com uma escala que nos permite um boa visualização do gráfico.
Tomamos a centena (200) imediatamente anterior ao menor valor dos acessos e a centena (1000) imediatamente superior ao maior valor dos acessos.
Marcamos 200 na origem do eixo dos valores e 1000 como maior valor. No intervalo marcamos as centenas e as meias centenas.

No eixo OX marcamos os meses observados.

Em seguida marcamos os pontos. Construímos o gráfico unindo os pontos por meio de segmentos de reta ou ajustamos uma curva aos pontos marcados.

 

Exemplo:

Vamos considerar os valores da média diária de arquivos acessados e de hits realizados no site da alfaconnection.

Mês JAN/09 FEV/09 MAR/09 ABR/09 MAI/09 JUN/09
Média diária de arquivos acessados 900 1700 3500 3800 5500 6500
Média diária de hits realizados 1200 2000 4100 4500 6300 7400

 

No eixo OY vamos marcar os valores com uma escala que nos permite um boa visualização do gráfico.
Tomamos o milhar (0) imediatamente anterior ao menor valor das séries acessos e o milhar (8000) imediatamente superior ao maior valor das séries.
Marcamos 0 na origem do eixo dos valores e 8000 como maior valor. No intervalo marcamos os milhares.

No eixo OX marcamos os meses observados.

Em seguida marcamos os pontos. Construímos o gráfico unindo os pontos por meio de segmentos de reta ou ajustamos uma curva aos pontos marcados.

Exemplo:

Um corpo é lançado a partir do solo com uma velocidade vo vertical de baixo para cima. Considerando a aceleração da gravidade igual a g e desprezando a resistência do ar a altura h do corpo a cada instante t é dada pela função h = vo t - 0,5 g t2 

A função do segundo grau será representada por uma parábola, tabulada como abaixo.

tempo - t 0 vo / g 2vo / g
altura - h 0 0,5 vo2 / g
altura máxima
0

 

Exemplo:

Duas molas A e B de constantes elásticas respectivamente iguais a k e 2k são deformadas de x. A energia potencial elástica armazenada pelas molas são EPA=1/2 k x2 e EPB = 1/2 2k x2 .

As funções do segundo grau serão representadas por parábolas.

Propriedades

 

Taxa de variação

A taxa de variação das grandezas representadas no eixo OY é avaliada pela inclinação da tangente à curva.

Taxa de variação média

Marcamos os pontos entre os quais queremos determinar a taxa de variação média. traçamos a secante que passa pelos pontos e determinamos as variações de x e y conforme o desenho.

Exemplo:

Uma embarcação em teste de mar é acelerada a partir do repouso. O seu deslocamento a partir da posição inicial é marcado num gráfico por pontos, sendo ajustada uma linha conforme mostra a figura.

Vamos determinar a taxa de variação de sua posição, ou seja a sua velocidade média no intervalo entre 1minuto e 4 minutos.

Taxa de variação instantânea

Marcamos dois pontos muito próximos entre os quais queremos determinar a taxa de variação instantânea. Traçamos a secante ( linha azul tracejada ) que passa pelos pontos. Deslocamos a secante paralelamente até que seja uma tangente ( linha azul contínua ). Determinamos a coordenada x ( x = a ) correspondente ao ponto de tangência. Como a inclinação da tangente é a mesma da secante, a taxa de variação no ponto de coordenada x = a é igual à taxa de variação média definida pela secante.

 

Exemplo:

Vamos considerar o exemplo anterior, onde uma embarcação em teste de mar é acelerada a partir do repouso. O seu deslocamento a partir da posição inicial é marcado num gráfico por pontos, sendo ajustada uma linha conforme mostra a figura.

Vamos determinar a taxa de variação de sua posição, ou seja a sua velocidade instantânea num momento do intervalo entre 1minuto e 4 minutos.

Taxa de variação média

Consideremos a função y = f ( x ), vamos determinar a taxa de variação média no intervalo [ x1 ; x2 ] Calculamos y1 = f ( x1) e y2 = f ( x2). A taxa de variação média igual a razão (y2 - y1) / (x2 - x1) 

Exemplo:

Uma pequena turbina foi projetada para realizar uma força de impulso F durante os primeiros 10 minutos de funcionamento.

Taxa de variação instantânea

Consideremos a função y = f ( x ), vamos determinar a taxa de variação instantânea para x = a.
Calculamos a derivada y' = f' ( x ), onde substituímos x por a. A taxa de variação será y1' = f' ( a )

Exemplo:

Uma pequena turbina foi projetada para realizar uma força de impulso F durante os primeiros 10 minutos de funcionamento.

 

Área entre a curva e o eixo OX

É importante observar que a área entre a curva e o eixo OX muitas vezes não tem nenhum significado físico. Nestes casos a determinação da área é um trabalho inútil. 
Para verificar se a área tem significado físico, basta efetuar o produto da grandeza representada no eixo OY pela representada no eixo OX e analisar o resultado.

Exemplos:

Obtido o gráfico traçamos um quadriculado. Determinamos o valor da área de cada quadrícula. Contamos o número de quadrículas no interior da área a ser determinada, que multiplicado pela área de cada quadrícula resulta o valor da área entre a curva e o eixo OX.

Exemplo:

Obtido o gráfico da função matemática y = f ( x ). Calculamos a área pela integral entre os limites considerados ou pela área da figura geométrica formada.

Exemplos:

1) Consideremos 1 mol de hidrogênio evoluindo isotermicamente a uma temperatura de 27 graus Celsius.
Vamos calcular o trabalho realizado pelo gás ao se expandir de 10 litros para 20 litros.
Sabemos que pV = nRT >>> pV = 1 x 0,082 x 300 >>> pV = 24,6

2) Um automóvel freia com uma aceleração constante a partir de uma velocidade de 20 m/s, parando em 150 segundos. O deslocamento do automóvel durante a frenagem é representado pela área do triângulo formado entre a linha e o eixo dos tempos.

3) Um gás evolui ciclicamente como mostra a figura. O trabalho realizado pelo gás durante um ciclo é representado pela área interna do ciclo.


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